\chapter{热亚矮星的质量及计算方法介绍}
\label{cha:intro}

质量是恒星的一个重要天体参量，它对于判断恒星的形成和演化历史具有很重要的帮助，但同时质量也很难被准确测定。一般认为热亚矮星的质量在0.50 $M_\odot$左右，Han et al.(2003)\cite{Han2003}通过大样本演化模拟发现热亚矮星的质量在0.30 -- 0.80 $M_\odot$内有一个广泛分布，并在0.46 $M_\odot$处有一个峰值。图\ref{fig2}为Han et al.(2003)\cite{Han2003}选择最佳双星演化参数模拟的不同形成渠道产生的热亚矮星的质量分布。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=14cm,height=12cm]{figures/Fig.8.jpg}
\caption{不同形成渠道产生的热亚矮星的质量分布图。图中虚线代表的是通过第一次稳定的洛希瓣物质转移形成的热亚矮星的质量分布，实线是通过第一次公共包层抛射形成的热亚矮星的质量分布，点虚线代表的是通过第二次公共包层抛射渠道形成的热亚矮星的质量分布，点线是通过双氦白矮星并合形成热亚矮星的质量分布。图片来自Han et al.(2003)\cite{Han2003}。}\label{fig2}
\end{figure}
第一次稳定的洛希瓣物质转移形成的热亚矮星在 0.30 -- 1.1 $M_\odot$内有一个广泛分布，它产生了很多质量在0.30 -- 0.40 $M_\odot$的小质量热亚矮星。这是由于大多数中等质量的恒星在经过赫氏间隙时充满了洛希瓣并发生了物质转移，它们以非简并的方式形成了很多小质量热亚矮星。第一次公共包层抛射形成的热亚矮星的质量分布有一个主峰在 0.46 $M_\odot$并有一个次峰在0.40 $M_\odot$。这是因为对于初始质量为1.90 $M_\odot$左右的恒星在红巨星顶端能够发生公共包层抛射并形成热亚矮星的半径范围要比初始质量小于1.60 $M_\odot$的恒星更宽，它们具有更大的参数空间可以通过公共包层抛射形成热亚矮星。并且如Han et al.(2002)\cite{Han2002}的表格一所示，在考虑了星风和对流超射带来的影响后，初始质量为1.90 $M_\odot$恒星的最小氦闪质量大概为0.39 $M_\odot$，要小于初始质量为1.60 $M_\odot$恒星的0.435 $M_\odot$。对于初始质量在1.90 $M_\odot$附近的恒星主要形成的是小质量热亚矮星，它们组成了第一次公共包层抛射的第一个质量分布峰值，而第一次公共包层抛射形成的第二个质量分布峰值是由更小质量的恒星形成。第二次公共包层抛射渠道形成的热亚矮星的质量分布有三个峰值，图\ref{fig2}最左边的一个在0.33 $M_\odot$处，它是由中等质量恒星通过公共包层抛射的方式形成的，其它两个峰值的形成原因和第一次公共包层抛射形成的热亚矮星质量分布峰值的原因一样。通过双氦白矮星并合形成的热亚矮星在0.42 -- 0.72 $M_\odot$之间有一个广泛且平坦的质量分布。通过以上分析我们发现不同形成渠道产生的热亚矮星具有不一样的质量分布，热亚矮星的质量分布可以作为判断它们可能形成渠道的一个良好判据。

Culpan et al.(2022)\cite{Culpan2022}最新提供的热亚矮星星表中包括6616颗热亚矮星，其中3087颗热亚矮星具有大气参数和视向速度等信息，但是只有很少的样本具有精确的质量。通过热亚矮星的质量可以很好的帮助我们理解热亚矮星的形成和演化途径，虽然目前已经发现了许多热亚矮星，但是质量作为最难计算的参量之一，现在只有很少的热亚矮星给出了较为准确的质量。本章节我们主要介绍了热亚矮星的几种质量计算方法，分析了它们各自的优缺点。

\section{利用星震学和双星动力学方法确定热亚矮星的质量}

目前确定热亚矮星质量最准确的是通过星震学\cite{208Testing,209Observations,2006Further}和双星动力学\cite{Rauch2009,For2009}的方法得到它的质量。通过星震学方法研究恒星内部结构有近40年的历史，该方法主要是将理论模型给出的热亚矮星脉动周期与观测到的脉动周期进行比较，找到最佳拟合点，从而给出最可能的热亚矮星结构参数\cite{张先飞2009,Charpinet1997,Charpinet2001}。影响最后结果的因素为光谱质量以及理论模型的可靠程度,总体而言，通过星震学测得热亚矮星质量是目前最为准确的方法。除了星震学的方法，通过双星动力学的方法计算热亚矮星的质量的精确度也比较高。这种方法的主要步骤如下，首先需要获得高精度的光谱，然后对光谱进行分析从中得到有效温度、重力加速度等大气参数，同时也需要利用谱线的多普勒效应以及光变曲线得到主星、伴星的视向速度和轨道周期，最后利用轨道周期和视向速度等信息结合双星的动力学理论给出热亚矮星的质量\cite{张先飞2009,Rauch2009,For2009}。星震学和双星动力学的方法都可以获得精度很高的质量，但是这两种方法都有一定的缺陷。星震学只适用于具有脉动的热亚矮星，但并不是所有的热亚矮星都具有脉动，它们只占热亚矮星中的少部分，通过星震学计算热亚矮星质量的操作过程比较复杂，很难通过这种方法计算大量热亚矮星的质量。双星动力学方法需要有精确的测光，它的质量求解也比较复杂，同样不适合于大量样本的质量确定。星震学和双星动力学方法都对观测光谱的精度有很高的要求，特别是对于复合光谱热亚矮星双星系统，获得高精度的热亚矮星光谱十分困难。 

目前只有很少数量的热亚矮星通过星震学和双星动力学方法给出了准确的质量，如Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}的表格一和表格二所示，他们统计了16颗通过星震学计算的脉动热亚矮星的质量和11颗通过双星动力学计算的处在双星系统中热亚矮星的质量。在这些样本中，PG 1605+072的脉动光谱很复杂，通过现有的理论模型还不能精确的计算出它的质量，因此它并没有被统计在热亚矮星的质量分布中。还有四颗既是处在双星系统中的热亚矮星也是脉动热亚矮星，它们的质量既被通过双星动力学的方法计算了出来，也被利用星震学的方法计算了出来，为了避免重复计数，Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}在研究热亚矮星的质量分布时只采用了它们的星震学质量。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=13cm,height=12cm]{figures/Fig.9.jpg}
\caption{Fontaine统计的具有准确质量的sdB型热亚矮星的质量分布。黑色的实线代表Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}中sdB型热亚矮星样本的质量分布，蓝色的点线是Han et al.(2003)\cite{Han2003}预测的双星演化理论中热亚矮星的质量分布，红色的点线是Dorman et al.(1993)\cite{Dorman1994}预测的热亚矮星单星演化渠道的质量下限，红色的实线是他们预测的热亚矮星单星演化渠道的质量上限。图片来自Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}。}\label{fig2.1}
\end{figure}
图\ref{fig2.1}中黑色的实线显示了Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}所统计的22颗热亚矮星的质量分布。它的质量分布平均值和峰值都在0.47 $M_\odot$附近，68.3\%的热亚矮星位于0.439 -- 0.501 $M_\odot$之间，绝大部分热亚矮星的质量分布都和Han et al.(2003)\cite{Han2003}的理论预测符合的很好。但是在0.55 $M_\odot$附近的大质量端，Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}给出的大质量热亚矮星在这一区域的数量快速下降至接近于零，这一数量分布相对于Han et al.(2003)的理论预测缺少大质量热亚矮星，这一问题一直困扰着人们并且还没有一个好的解决办法。造成这一现象的可能原因是Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}所选择的样本数量偏少，而且单星热亚矮星只有11颗，大质量热亚矮星很可能是通过双氦白矮星并合或者其它的双星并合方式形成的单星，选择过少数量的单星热亚矮星很可能导致最终的统计结果具有偶然性。另外PG 1605+072并没有纳入他们的样本统计中，虽然它的精确质量还没有被计算出，但是从van Spandonk et al.(2008)\cite{van2008}和Van Grootel et al.(2010)\cite{Van2010}的研究来看，它很可能是一颗质量在0.70 $M_\odot$的大质量热亚矮星。如果将PG 1605+072这颗可能的大质量热亚矮星样本考虑进去，Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}的热亚矮星的质量分布会和Han et al.(2003)\cite{Han2003}所预测的热亚矮星的质量分布符合的更好。大质量热亚矮星可能绝大多数都是单星，而Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}中单星热亚矮星依赖于星震学的方法估计出它们的质量，大质量热亚矮星的脉动特性还存在着许多未知，它们的质量可能并没有被准确的确定出来，Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}的质量分布可能具有偶然性和人为的选择效应。

\section{和太阳标准模型做对比计算热亚矮星的质量}

热亚矮星质量的另一种计算方法是利用它们的大气参数和太阳标准模型做对比\cite{Moehler2011,Moehler2019,Bidin2007}，可以利用公式\ref{2-1}进行质量计算。
\begin{align}
      \log \frac{M}{M_\odot} = \log \frac{g}{g_\odot} - 4 \cdot \log \frac{T}{T_\odot} + \log \frac{L}{L_\odot} \,
      \label{2-1}
   \end{align} 
\begin{align}
      \log \frac{L}{L_\odot} = 0.4 \cdot [(m - M)_0 - V + A_{\rm V} - BC + M_{\rm bol,\odot}] \,
   \end{align} 
在这个公式中一般选取${T_\odot} = 5777$ K, $\log {g_\odot} = 4.437$ cm ${\rm s^{-2}}$, $M_{\rm bol,\odot}$是太阳的绝对星等，一般令$M_{\rm {bol,\odot}} = 4.75$。$(m - M)_0$是距离模数，一般认为球状星团中所有恒星到我们的距离都十分相似，因此球状星团中热亚矮星的距离模数一般情况下等于该星团的距离模数，场星的距离模数可以通过$(m - M)_0 = 5\ {\rm {log}_{10}} (1000 / \varpi) - 5$计算出来，其中$\varpi$代表的是视差。公式3-2中的$V$是$V$波段视星等，$A_{\rm{V}}$是$V$波段的星际消光值，它可以以恒星的银河系坐标为输入参量通过Schlegel et al.(1998)\cite{Schlegel1998,Schlafly2011}的银河系星际红化图直接得到，一般取$A_{\rm{V}} = 3.1 {E(B-V)}$。BC是恒星的热改正，Flower et al.(1996)\cite{Flower1996}通过335颗温度在2,900 -- 52,500 K的恒星热改正值得出了恒星的温度 -- 热改正关系式，这一关系式可以很方便的通过恒星的温度直接求出恒星的热改正，目前这一方法被广泛的应用于计算恒星的热改正。通过Flower et al.(1996)\cite{Flower1996}的温度-热改正关系式所得到的低温恒星的热改正比较准确且误差较小，但是对于温度大概在35,000 K以上的恒星，Flower et al.(1996)\cite{Flower1996}所选用来拟合恒星温度 -- 热改正关系式的高温恒星样本数量很少，他们得出的高温端恒星的温度 -- 热改正关系式可能并不准确，而且误差也比较大。

公式\ref{2-1}经常被用来计算球状星团中水平分支星的质量。如图\ref{fig2.2}所示为Moehler et al.(2011)\cite{Moehler2011}利用公式\ref{2-1}计算得到的半人马座球状星团中蓝端水平分支星和极端水平分支星在不同温度下的质量分布。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=14cm,height=11.5cm]{figures/Fig.10.jpg}
\caption{半人马座球状星团中蓝端和极端水平分支星的质量分布。Group 1代表的是贫氦热亚矮星，Group 2是中等富氦热亚矮星，实线代表理论预测的氦丰度为0.23的零龄水平分支，虚线代表理论预测的氦丰度为0.38的零龄水平分支，误差棒代表质量和温度的误差。图片来自Moehler et al.(2011)\cite{Moehler2011}。}\label{fig2.2}
\end{figure}
从图\ref{fig2.2}中可以看出蓝端水平分支星的质量基本都比理论预测值偏小，在30,000 K左右的贫氦热亚矮星的质量分布大多数都在0.5 $M_\odot$附近，这一质量分布能够符合理论预测。所计算出的蓝端水平分支星质量偏小的可能原因是未获得这些恒星的准确大气参数。在利用理论大气模型产生的理论光谱和观测到的光谱进行匹配计算时，现有的大气模型可能并不可以完美的产生所有符合观测的理论光谱，从而得到一部分不准确的大气参数，利用这部分大气参数进行质量的计算得到的结果可能也并不准确。计算出的蓝端水平分支星质量偏小的问题已经困扰了研究者很多年，目前还没有一个完美的解释，或许利用其它不依赖于大气参数的质量计算方法，如星震学和双星动力学的方法得到更加准确的质量可以有效的解决这一问题。大多数中等富氦热亚矮星的质量都要大于0.5 $M_\odot$，这可能是由于中等富氦热亚矮星是通过双氦白矮星并合形成的，因此具有较高的氦丰度和质量，但是从图\ref{fig2.2}中可以看出Moehler et al.(2011)\cite{Moehler2011}计算出的质量的误差都比较大，这一质量分布还充满了不确定性。通过这种方法计算热亚矮星的质量较为方便快速，如果能够获得热亚矮星较为准确的大气参数、距离、热改正、星际消光、$V$星等参数，利用这种方法计算出的热亚矮星的质量也较为准确，但是对于温度较高的热亚矮星，它们的热改正很难被准确计算出来，这种方法只适用于部分具有准确热改正的低温热亚矮星的质量计算。

\section{利用光谱能量分布计算热亚矮星的质量}

随着许多大型巡天任务的开展，研究者获取了许多光学、紫外和红外波段的光度数据，如果将一颗恒星的光度数据转换成光谱能量分布(SED)，再结合距离和星际消光就可以对这颗恒星进行定量分析，从而得到恒星的温度、重力加速度、半径、质量等参数。具体的流程如下，首先需要获得一颗恒星的理论合成光谱能量分布，这时就可以得到恒星表面的模型光谱流量密度$F(\lambda)$。其次需要得到在地球上利用望远镜所观测到的流量密度$f(\lambda)$，$f(\lambda)$可以通过望远镜观测到的视星等转换为流量密度而得出。然后利用已知的$F(\lambda)$和$f(\lambda)$根据公式\ref{2-3}便可以计算出稀释因子$M_{\rm d}$
\begin{align}
      M_{\rm d} = \frac{F(\lambda}{f(\lambda)} = \frac{R^{2}}{d^{2}}\,
      \label{2-3}
   \end{align} 
其中R是恒星的半径，d是恒星到地球的距离，由于恒星到地球的距离足够远，恒星的角直径可以利用$\theta = 2\frac{R}{d}$求出，因此有
\begin{align}
      \frac{F(\lambda}{f(\lambda)} = \frac{\theta^{2}}{4}\,
      \label{equation1}
   \end{align}
一旦我们知道了恒星的$F(\lambda)$、$f(\lambda)$，然后利用公式
\begin{align}
      M = \frac{gR^{2}}{G}\,
      \label{2-5}
   \end{align}
便可以求得恒星的质量，其中g是恒星的重力加速度，G是万有引力常量。

这种方法被经常用来计算各种恒星特别是热亚矮星的质量\cite{Schaffenroth2022,Silvotti2020,Schindewolf,Reb2019,Dorsch2022}，最近Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}利用光谱能量分布的方法计算了68颗密近双星系统中热亚矮星的质量。如图\ref{fig2.4}所示是他们得到的不同类型双星系统中热亚矮星的质量分布。由于密近双星系统中热亚矮星的伴星质量和类型不同，它们的光变曲线也存在着差异，根据不同类型双星系统光变曲线的差异，Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}将观测到的密近热亚矮星双星系统分为椭圆轨道、HW Vir和反射式三种类型。如果密近热亚矮星双星系统中的伴星是白矮星，它的光变曲线会显示椭圆轨道的信息，这便是椭圆轨道型热亚矮星双星系统。如果双星系统中两颗星的距离比较近且伴星是一颗冷的且质量比较小的星，那么伴星会被潮汐力锁定，热亚矮星会一直照射伴星热的一面，另外一面由于没有接受到热量辐射从而表现为较低的温度。伴星在围绕主星公转时自身也不断自转，被照亮的一面不断的旋进和旋出进我们的视野，我们便可以观测到这种由于温度变化导致的光变曲线变化，这种便是反射式双星系统。对于密近双星系统，在适当的恒星大小和轨道分离度下，掩食现象可以被观测到，这种掩食的sdB型热亚矮星双星系统被称为HW Vir系统。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=14cm,height=20cm]{figures/Fig.11.jpg}
\caption{Schaffenroth计算的密近双星系统中热亚矮星的质量。蓝色的点代表的是椭圆轨道双星系统中热亚矮星的质量，绿色的点代表的是反射式双星系统中热亚矮星的质量，红色的点代表的是HW Vir系统中热亚矮星的质量。图片来自Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}。}\label{fig2.4}
\end{figure}

Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}发现椭圆轨道和反射式热亚矮星双星系统中热亚矮星的质量大部分都在0.50 $M_\odot$以下，这和Han et al.(2003)\cite{Han2003}预测的公共包层抛射产生的密近双星系统中热亚矮星的质量分布很相似。而掩食热亚矮星双星系统中有较多质量大于0.50 $M_\odot$的热亚矮星。由于伴星对总通量的贡献随轨道相位的变化而变化从而引起反射效应，从反射效应系统中确定恒星的大气参数必须在零相位或接近零相位时刻，此时只能看到伴星较冷的一面，或者伴星被热亚矮星所掩盖，可以消除掉伴星所带来的影响。而Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}的反射效应双星系统中热亚矮星的大部分大气参数是由处在不同轨道相位的光谱所确定，这种大气参数的测量方法并不准确，这会导致系统向更高的$T_{\rm eff}$和$\log g$偏移。他们得出的大气参数很可能影响了热亚矮星的半径和质量的计算，并导致热亚矮星的质量向大质量端偏移，反射双星系统中的这种大质量热亚矮星可能并不是真实存在的。通过Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}准确计算部分的热亚矮星质量分布来看，他们的结果和理论预测的质量分布符合的很好，这间接表明利用光谱能量分布计算热亚矮星的质量准确度比较高。通过光谱能量分布的方法计算热亚矮星的质量也不像星震学和双星动力学那么复杂，它很适合同时计算大批量热亚矮星的质量。