\chapter{绪论}

\section{热亚矮星简介}
亚矮星（subdwarf）一词最早是由Kuiper et al. (1939）\cite{1939ApJKuiper,1940ApJKuiper}提出，用来描述赫罗图（Hertzsprung-Russell Diagram ，HRD）中处于主序（Main Sequence，MS）和白矮星（White dwarf，WD）之间的一类恒星，而光谱型为O-B的亚矮星被称为热亚矮星（Hot Subdwarf stars）。
其中B型热亚矮星（sdB）的表面有效温度（$T_{eff}$）在20000K到40000K之间，表面重力加速度在$5.0-6.0 {\rm cm_/s^2}$之间，而对于O型热亚矮星（sdO），$20,000~\mathrm{K} \leq T_{\text{eff}} \leq 70,000~\mathrm{K}$，$5.0 \leq \log g \leq 6.5$。
如图\ref{fig:HRD}所示,热亚矮星在水平分支（Horizontal branch，HB）的蓝端，处于核心氦稳定燃烧的阶段。其质量较小，约为太阳质量的0.5倍，还拥有一个非常薄的壳层（$M_{\text{env}} \le 0.02 M_{\odot}$）。
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/uh-hrd.pdf}
    \caption{各种类型恒星的赫罗图，纵坐标为光度，横坐标为恒星表面有效温度，颜色从红到蓝表示恒星表面有效温度逐渐增大。图片来自Heber et al. (2016)\cite{2016PASPHeber}}
    \label{fig:HRD}
\end{figure}
\section{热亚矮星分类}
热亚矮星的壳层中有纯氢（H）的大气成分，也可能是纯氦（He）的大气，这就使得热亚矮星具有极其特殊的谱线特征，导致其不能在MK分类系统中进行分类。
目前应用广泛且分类更加精细的是\citet{1990_A&AS_moehler}的分类方法，他利用热亚矮星的几条特殊谱线（比如氢巴耳末线，He\uppercase\expandafter{\romannumeral1}和He\uppercase\expandafter{\romannumeral2}等 ）将热亚矮星分为六类：sdB、sdOB、sdO和富氦的He-sdB、He-sdOB、He-sdO。
其中sdB拥有强且宽的氢巴耳末线，4388\AA处的He\uppercase\expandafter{\romannumeral1}线要若雨4471处的He\uppercase\expandafter{\romannumeral1}或几乎没有，
sdOB拥有强且宽的氢巴耳末线，同时伴有弱He\uppercase\expandafter{\romannumeral1}（4471\AA）线和He\uppercase\expandafter{\romannumeral2}(4686\AA)线，
sdO，因为它呈现强烈的氢巴尔末线，但在 4686\AA处的He\uppercase\expandafter{\romannumeral2}线较弱，没有检测到He\uppercase\expandafter{\romannumeral1}线。，
He-sdB显示出主要的He\uppercase\expandafter{\romannumeral1}线，但没有氢巴尔末线和He\uppercase\expandafter{\romannumeral2}线，
He-sdOB主要的He\uppercase\expandafter{\romannumeral1}线，同时也伴有He\uppercase\expandafter{\romannumeral2}线和氢巴尔末线，
He-sdO显示出主要的He\uppercase\expandafter{\romannumeral2}线，但氢巴尔末线和He\uppercase\expandafter{\romannumeral2}线非常弱。
图\ref{fig:spec_class}清晰的展示了这六种类型热亚矮星的典型的归一化光谱，根据这些特征可以清晰的对热亚矮星进行分类以便后续研究。
此外，\citet{2013A&A...551A..31D}还设计了一个类似于MK的分类方案，通过这个方案，热亚矮星可以以类似于正常MS星的方式被分类（另见\citealt{2021MNRAS.501..623J, 2024PASJ...76.1084Z}）
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/represent_spec_fig1.pdf}
    \caption{六条典型归一化光谱（LAMOST DR5，黑色）和最佳拟合合成光谱（红色）的 SD。特征H和He线由短垂直线标记。图片来自\citet{2018ApJ...868...70L}}
    \label{fig:spec_class}
\end{figure}
\section{热亚矮星的双星特征}
一般来说，像热亚矮星这样的小质量恒星（~0.5$M_\odot$），如果只依靠单星演化，想要演化到核心He稳定燃烧的阶段，至少需要{\color{red}100亿}年，已经超过了现有的宇宙年龄。
因此热亚矮星具有极其特殊的演化途径，比如双星演化。而我们的观测也证实了这一点，观测上近一半的热亚矮星处于密近双星系统中。
在 Palomar-Green 调查过程中\citep{1986ApJS...61..305G}，很大一部分 sdB 恒星（至少 20\%）具有复合颜色和光谱。
自 2000 年以来，越来越多的证据表明，更多的热亚矮星与不可见的伴星生活在紧密的双星中。大约一半的单线 sdB 恒星有不可见的伴星，它们的轨道周期为 30 天或更短\citep{2001MNRAS.326.1391M,2003MNRAS.338..752M,2004Ap&SSnapiwotzki,2011MNRAScopperwheat}。看不见的伴星要么是低质量的主序星，要么是白矮星。

\section{热亚矮星的搜寻}
随着利用新发布的光谱巡天数据（\citep{2017OAst...26..164G, 2019MNRAS.486.2169K, 2018ApJ...868...70L, 2019ApJ...881..135L, 2020ApJ...889..117L, 2023ApJ...942..109L, 2019ApJ...881....7L, 2021ApJS..256...28L,2019A&A...630A..80S, 2021MNRAS.501..623J}, also with the help of Gaia mission Early Data Release 3 (Gaia EDR3, \citealt{2021A&A...649A...1G}),  \citet{2022A&ACulpan}分别编制了两份已知热亚矮星及其候选星表（另见系列研究，\citealt{2017_A&A_geier, 2019A&A...621A..38G, 2020AA...635A.193G}). 已知热亚矮星星表包含 6000 多颗已确认的热亚矮星，其中 3000 多颗恒星有大气参数，2700 多颗恒星有径向速度。另一方面，候选星表中包含了超过 60\ 000 个天体，这些天体可以作为可靠的输入星表，利用新的光谱观测数据进行后续分析。

\chapter{热亚矮星的演化}

\section{热亚矮星演化通道}
热亚矮星的形成与双星系统的相互作用密切相关，目前主流及新兴的理论模型包括：
\subsection{单星通道}
想要通过单星演化称为热亚矮星，恒星在演化过程中需要经历剧烈壳层剥离机制来剥离恒星的氢壳层。
\citet{1993ApJ...407..649C}用了Reimer的公式来计算恒星的质量损失率，并针对不同的假设进行了数值模拟。结果表明，恒星的氦核心演化不受质量损失的影响，但红巨星的亮度随着实际质量的变化而变化.当质量损失系数大于等于1时，恒星无法点燃氦核，最终变成白矮星。然而，在某些情况下，恒星的核心仍然会试图在冷却过程中点燃氦核，这可能会产生极端蓝色水平分支星，也就是热亚矮星。
延迟氦闪（helium flash）：
通常情况下，低质量恒星在氦核闪光期间点燃RGB尖端的氦。然而，如果它们经历了非常高的质量损失，恒星将离开RGB，进入白矮星冷却阶段，但此时核心继续收缩并加热，直到温度和密度足够触发氦闪，通过氦闪抛掉大部分的包层
\citet{1996ApJ...466..359D}使用Reimers公式计算了不同金属丰度和初始质量的RGB模型，并发现足够快的质量损失会导致恒星“剥离”RGB并进化到高温状态，最终成为热亚矮星,发现在低金属丰度下，需要较大的质量损失效率才能产生EHB恒星。

\citet{2004ApJ...602..342L}
机制：初始质量较高的恒星（）在白矮星冷却曲线上经历延迟氦核闪，抛射剩余氢包层,形成表面富氦的热亚矮星
\citet{2008A&A...491..253M}对热闪星场景进行了多种情况及金属丰度的一维恒星演化模拟，对延迟氦闪的数空间进行了充分的探索，早期 He 核燃烧阶段，元素扩散可能导致（热闪泡后）富含 He 的大气转变为贫 He 大气。如果是这样，那么我们发现 He-sdO 星应该是某些最热的 sdB 星的前身。



\subsection{双星通道}

人们对双星演化的研究基于洛希模型（Roche model），在洛希模型中，通过内拉格朗日点的临界洛希瓣等势面连接了两颗星的引力作用范围。
如果双星系统中的某颗恒星充满其洛希瓣，其物质可以通过内拉格朗日点转移到另一颗星的洛希瓣，这个过程被称为洛希瓣物质转移（Roche-lobe overflow，RLOF），它是双星系统中两颗恒星之间质量转移的最重要的方式。
在质量转移的过程中，根据质量转移是否稳定，双星系统有不同的演化途径。
首先，如果质量转移是动态稳定的，主星将通过RLOF将其大部分外层物质转移到次星，形成一个新的具有较长轨道周期的双星。
另一方面，如果主星急剧膨胀，导致质量转移率急剧增加，这是质量转移过程是动态不稳定的。这就会导致次星无法吸收所有的转移的物质，这些物质随后堆积在次星的表面，并开始膨胀，最终超过次星的洛希瓣，形成了一个公共包层（common envelop，CE）。
随着时间的推移，由于与CE的摩擦，双星的轨道能量减少并转移到CE中，轨道周期也同时变短。
如果减少的轨道能量（$\delta E_{orb}$）能够将CE抛射出去，那么在CE抛射射后会形成一个轨道周期非常短的双星，
相反，如果CE无法成功喷射，双星将合并成一个可能具有较高自转速度的单星。

对于热亚矮星来说，其双星演化通道也符合这三个过程，\citet{2002MNRASHan,2003MNRASHan}


\subsubsection{稳定的洛希瓣物质转移}
在两颗主序星形成的双星系统中，由于质量较大的恒星（主星）其演化速度快，当主星离开主序，向红巨星阶段（Red Giant branch，RGB）演化时，质量小的恒星（伴星）还处于主序阶段。
主星在RGB逐渐膨胀，当其充满其洛希瓣时，就开始发生物质转移。
如果质量转移过程是动态稳定的，主星将失去大部分包络层，从而产生一颗带有MS伴星的sdB。
此时如果主星的质量低于氦闪的最低质量\cite{2002MNRASHan}，主星将会在红巨星的顶端经历RLOF，同时其简并的氦核核心也会发生氦闪从而解除简并点燃氦，产生sdB。
通过该通道形成的所有sdB恒星的质量都应该略低于氦闪的临界核心质量，并且质量分布在$0.46\,M_{\odot}$处出现尖峰。
而当主星质量高于氦闪的最低质量，主星在赫氏空隙（Hertzsprung gap）阶段就会充满洛希瓣并开始转移物质，点燃非简并的氦核形成sdB。
在这种情况下，sdB星的质量可以具有从$0.33\,M_{\odot}$到$1.1\,M_{\odot}$的非常宽的范围，但是质量越大的sdB星越不太可能发生，因为它们所需的初始质量函数而实现概率较低。
总体而言，sdB+MS的轨道周期在0.5到20000天之间的宽轨道上。
轨道周期取决于系统角动量的损失程度，其中最短周期是由在赫氏空隙开始时经历稳定RLOF的系统产生的。

双星系统继续演化，当伴星进入RGB阶段后，同样会充满伴星的洛希瓣并再次发生物质转移，此时主星已经演化为白矮星。
然而，为了获得稳定的RLOF，伴星的ZAMS质量范围非常有限（RGB与WD的质量比$M_{\mathrm{RG}}/M_{\mathrm{WD}}$必须低于 的值$\sim1.1-1.3$;见\citet{2002MNRASHan}的表 3）。这通常需要大质量的WD。由于这些非常罕见，因此该通道不太可能对sdB恒星群做出太大贡献。

\subsubsection{公共包层抛射}
如果质量转移过程是不稳定的，则会形成公共包层。
同样的，伴星为MS的小于氦闪最低质量的主星在RGB顶端经历与公共包层的摩擦，抛射出公共包层，形成轨道周期分布范围为0.05到$\gtrsim40\,\mathrm{d}$的sdB双星，这种通道产生的sdB的质量分布同样在$0.46\,M_{\odot}$处出现峰值。
如果主星质量高于氦闪质量，会在赫氏空隙极端失去包层。然而，由于赫氏空隙阶段的包层比RGB上的恒星包层紧密得多，因此在赫氏空隙中经历动力学质量传递的系统更有可能完全合并，而不是作为短周期双星存活下来。
因此，这个通道对sdB的形成没有太大贡献，尽管应该注意的是，这些星通常包含质量较低（低至 $\sim0.33\,M_{\odot}$）的 sdB 恒星，并且往往具有非常短的轨道周期。

当红巨星的伴星是白矮星时，公共包层抛射后形成的sdB双星的轨道周期更短，因为WD伴星的半径比MS星小得多，而且WD可以更深入地穿透 CE 并导致其抛射射，即它可以避免两个组件的完全合并。因此，来自该通道的sdB恒星具有更宽的轨道周期范围，它们的伴星是 WD。
与伴星为MS的公共包层抛射通道不同的是，质量更大的通道对 sdB 种群的贡献更大，因为如果伴星是白矮星，则更容易在赫氏空隙阶段抛射处包层。
同样的，根据红巨星的初始质量与氦闪最低质量的大小，可以分为两个子通道。来自第一个子通道的sdB的质量是$0.46\,M_{\odot}$，而来自第二个子通道的sdB恒星的质量是$0.35\,M_{\odot}$。

\subsubsection{双氦白矮星合并通道}
两颗氦白矮星的双星系统在形成公共包层后，如果损失的动能不足以抛射掉公共包层，双星将通过引力波辐射持续损失角动量，轨道周期逐渐缩短，最终导致合并。
如果合并产物点燃了氦核，这将再次导致形成一个质量分布相当宽的表面富氦的热亚矮星单星（$0.40\,M_{\odot}$到$0.60\,M_{\odot}$）。


\subsection{其他演化通道}
Meng et al.(2018)\cite{2017MNRAS.469.4763M,2019MNRAS.482.5651M,2021MNRAS.507.4603M}提出了Ia型超新星爆发残留伴星可能形成热亚矮星，这种渠道可以形成中等富氦的热亚矮星，不过他们认为这种渠道的热亚矮星诞生率比较低，大概10\%的中等富氦热亚矮星可能是通过这种渠道所形成。Politano et al.(2008)\cite{Michael2008}认为由红巨星和小质量主序星或者褐矮星组成的双星系统在演化过程中可能会产生公共包层，在双星的公共包层演化过程中，红巨星可能和小质量主序星或者褐矮星发生并合从而产生一颗贫氦的单星热亚矮星。
初始系统包含一颗碳氧白矮星（主星）和一颗非简并伴星（红巨星、主序星或氦星）。
白矮星通过洛希瓣溢流（RLOF）或星风吸积积累质量，直至接近钱德拉塞卡极限（${\rm M_{ch}\,=1.4\,M_{\odot}}$)
白矮星达到临界质量后发生热核爆炸（Ia型超新星）。
伴星在爆炸冲击波中损失部分质量（剥离氢包层），但仍保持引力束缚，最终形成低质量致密天体（如热亚矮星）。
爆炸赋予伴星高速运动（1000km/s），使其脱离原双星系统，成为银晕高速星。
Miller et al.(2022)\cite{Miller2022}提出碳氧白矮星并合氦白矮星可以形成富氦的热亚矮星，这种形成渠道可以解释强磁场富氦热亚矮星的形成。
\cite{2017ApJ...835..242Z}提出氦核白矮星与主序星的合并可以产生一个红巨星分支星，当氦被点燃时，它将具有低质量氢包层，从而成为中等富氦的热亚矮星,但是双星并合之后的产物在中等富氦热亚矮星阶段只停留大概5 Myr，随后元素扩散效应便会把中等富氦热亚矮星变为贫氦热亚矮星，它剩余的大概70 Myr的演化时间都将表现为贫氦的大气成分。通过氦白矮星并合主序星形成热亚矮星的诞生率也并不高，只有7.57\times$10^{-5}$ $M_\odot$/yr，大概是双氦白矮星并合形成热亚矮星诞生率的五分之一。
此外，\citet{2022MNRASmiller}还提出，碳氧WD与He WD的合并可能会形成富含He的热亚矮星，其大气中的碳和氧含量非常高。最近，\citet{2021MNRAS.507.4603M}和\citet{2024RAA....24e5003J}提出，大质量WD的MS伴星在Ia型超新星（SN）爆炸中可能幸存下来，如果它们的包层在爆炸中被抛射出来，它们就会成为中间的富He热亚矮星。他们的模型预测，幸存恒星的质量分布峰值约为0.4 $\mathrm{M}_{\odot}$，这与\citet{2023ApJLei}的观测结果一致。然而，与迄今为止发现的富He热亚矮星的数量相比，这个通道的诞生率太低了（\citep{2021MNRAS.507.4603M}）。
\citet{2024ApJ...964...22L}提出，大质量sdO/B星可能是由渐近巨枝（AGB）恒星的CE抛射过程产生的。这个模型可以解释最近发现的sdO双星SMSS-J1920 \citep{2022MNRAS.515.3370L}，它的光谱中出现了很强的Ca H线和K线。
\citet{1988MNRAS.231..823T}认为标准的Reimers星风损失速率太低了，这无法解释观测到的双星在稳定的洛希瓣物质转移前就出现的质量反转现象，因此他们提出了在伴星潮汐力作用下的潮汐增强星风机制.
Lei et al.(2015，2016)\citet{2015MNRAS.449.2741L,2016MNRAS.463.3449L}认为热亚矮星的前身星可以通过双星间的潮汐增强星风机制损失绝大部分的壳层质量而形成热亚矮星，这种热亚矮星的轨道周期基本都在1000 天以上。


\section{热亚矮星的理论演化轨迹}
\label{MESA}
为了研究热亚矮星的后续演化，我们使用恒星天体物理学实验模块（Modules for Experiments in Stellar Astrophysics，MESA）进行了数值求解。
MESA是一个开源的恒星演化数值模拟的工具包，由\citet{2011ApJS..192....3P,2013ApJS..208....4P,2015ApJS..220...15P,2018ApJS..234...34P,2019ApJS..243...10P,2023ApJS..265...15J}等人开发，通过求解质量守恒、流体静力学平衡、能量传输、能量守恒等基本方程得到恒星演化的各种参数。
MESA通过模块化设计，让用户可以方便的控制每个物理过程的启用，也可以引入自定义物理过程的新模块。MESA自带的模块已经可以满足大部分物理过程，比如混合长理论、对流过冲、扩散和重力沉降、星风等等。
除此之外，它还能计算双星演化，包括轨道角动量的演化和洛希瓣物质转移。

为了计算热亚矮星的演化，我们需要先分析一下热亚矮星的组成，零龄氦主序的热亚矮星拥有一个氦核和小于$0.2\,{\rm M_{\odot}}$的壳层，壳层主要由氢和氦组成，壳层氦丰度$[{\rm M_{He}/M_{H}+M_{He}}]$从0到1都可能，其他金属元素一般含量较少，可以忽略不计。
于是我们得到了影响热亚矮星演化的三个重要参数：核心质量、壳层质量和壳层氦丰度。
为了得到热亚矮星演化的初始模型，我们计算了一个$1M_{\odot}$质量的恒星的演化模型，从主序前，到主序，再演化到红巨星的顶端，经历氦闪，剥离壳层，得到一个裸露的氦核，再调整initial\_mass得到不同质量的裸露氦核，然后再这一批裸氦核的基础上再加上不同质量、不同氦丰度的壳层，得到一批热亚矮星的初始模型，演化这些模型就得到了热亚矮星演化的演化轨迹，

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/sd_HRD.pdf}
    \caption{氦核质量为$0.462\,{\rm M_{\odot}}$,壳层质量为$0.01\,{\rm M_{\odot}}$的热亚矮星及其后续的演化轨迹}
    \label{fig:sd_hrd}
\end{figure}
图\ref{fig:sd_hrd}展示的是氦核质量为$0.462\,{\rm M_{\odot}}$,壳层质量为$0.01\,{\rm M_{\odot}}$的热亚矮星及其后续的演化轨迹图，左图是光度-有效温度，右图是重力加速度-有效温度，图中的不同标点代表不同的演化状态。
从点1开始，恒星的氦核开始稳定燃烧，表面的有效温度几乎不便，半径缓慢膨胀，导致表面重力加速度减小。
到达点2时，核心氦的质量分数下降到20\%左右，大部分氦已经通过3$\alpha$过程转化为碳和氧，核心氦燃烧速率逐渐降低。
于是从点2开始，光度的增加也变得缓慢；恒星在自身引力作用下开始收缩，重力加速度变大；壳层的氢开始燃烧，导致表面有效温度开始增加。
当核心氦彻底燃烧结束（点3）后，壳层氦开始燃烧，此过程同点1到点2一致，有效温度不变，半径增大，重力加速度减小。
到达点4时，壳层氦也燃烧殆尽，只剩下表面的氢还在做最后的燃烧，表面氢的燃烧引起了表面有效温度的升高。
恒星核心的温度也在点5附近开始逐渐冷却，恒星收缩，重力加速度增加，
5-6：氢燃烧速率和氦燃烧速率增加，光度在点6处达到最大值，之后氢燃烧速率增长放缓，氦燃烧速率降低，到达点6.
6-7：表面氢最后一次燃烧，此时已无法维持氦的燃烧，到达点7后，恒星已无法维持氢的燃烧，恒星逐渐冷却，进入白矮星序列。



\chapter{数据与方法}

\section{质量的计算方法}
质量是一个恒星最重要的参数，同时它也是最难计算的参数。它对人们研究恒星的演化和历史很有帮助。
因此，前人想到了几种质量计算的方法，但它们各有优劣。
\subsection{星震学}
一般来说，恒星内部的结构不能直接探测到，而对于一些脉动的恒星而言，使用星震学（Asteroseismology）方法可以间接探测到恒星内部结构信息。
恒星的脉动主要由两种种激发机制，第一种是外层对流机制\cite{2013ARA&A..51..353C}，主序低质量恒星和演化的中低质量恒星包层中的湍流对流不断推动和抑制恒星的共振特征频率。
第二种是不透明度机制，这种机制存在于热亚矮星，白矮星或大质量主序星中。
对于热亚矮星而言，富氢包层中部分电离金属的存在产生了局部的不透明性。这种增加的不透明性阻挡了向外的辐射流，从而加热了该区域并使其膨胀。膨胀后，由于不透明度降低，辐射能够不受阻碍地流经该层，因此该层冷却下来并再次收缩。收缩导致重新产生（部分）电离区，从而再次产生不透明源。这种周期性的膨胀-收缩循环使恒星的热量转化为机械功并激发脉动（Pamyat 1999b）。
通过恒星振动频率可以反演恒星内部的结构及其发生的物理过程。
比如在具有常密度的恒星内部，脉动周期与密度成反比
星震学是通过分析恒星的震动模式来推断其内部结构及物理参数，包括质量、半径、密度等。
具体来说，使用高精度测光设备（如开普勒太空望远镜、TESS）或光谱仪（如 HARPS）记录恒星光度或径向速度的周期性变化，通过傅里叶变换等方法将时域数据转换为频域，提取震动频率谱。
分析频率谱，得到频率间隔$\Delta \nu$和最大功率频率$\Delta \nu_{\text{max}, \odot}$，再根据公式\ref{eq:M_Asteroseismology}和\ref{eq:R_Asteroseismology}就可以得到恒星的半径和质量。
\begin{align*}
\frac{M}{M_{\odot}} &\approx \left( \frac{\nu_{\text{max}}}{\nu_{\text{max}, \odot}} \right)^3 \left( \frac{\Delta \nu}{\Delta \nu_{\odot}} \right)^{-4} \left( \frac{T_{\text{eff}}}{T_{\text{eff}, \odot}} \right)^{\frac{3}{2}}\label{eq:M_Asteroseismology}\\
\frac{R}{R_{\odot}} &\approx \left( \frac{\nu_{\text{max}}}{\nu_{\text{max}, \odot}} \right) \left( \frac{\Delta \nu}{\Delta \nu_{\odot}} \right)^{-2} \left( \frac{T_{\text{eff}}}{T_{\text{eff}, \odot}} \right)^{\frac{1}{2}}\label{eq:R_Asteroseismology}
\end{align*}

然而，对于热亚矮星而言，想要获得完整的星震学数据比较困难，首先需要热亚矮星是脉动热亚矮星，其次需要长时间连续的高精度观测，这两个条件限制了通过星震学方法计算热亚矮星质量的数量。

\subsection{双星动力学}
在双星系统中，我们可以通过双星动力学得到恒星质量。
对于双星系统，其轨道周期${\rm P}$轨道半长轴$a$和总质量${\rm M_1+M_2}$满足公式\ref{eq:M_dynamics},只要再得到两颗星的质量比，就可以得到每颗星的质量。
\begin{align*}
\frac{(a_1 + a_2)^3}{P^2} &= \frac{G(M_1 + M_2)}{4\pi^2}\label{eq:M_dynamics}
\end{align*}
其中$a_1$和$a_2$是两颗星绕质心的轨道半长轴，${\rm G}$为引力常数
通过多历元光谱测量热亚矮星的视向速度$v_1$，拟合正弦曲线获得速度半振幅${\rm K_1}$、轨道周期${\rm P}$和偏心率$e$

首先需要获得高精度的光谱，然后对光谱进行分析从中得到有效温度、重力加速度等大气参数，同时也需要利用谱线的多普勒效应以及光变曲线得到主星、伴星的视向速度和轨道周期，最后利用轨道周期和视向速度等信息结合双星的动力学理论给出热亚矮星的质量

通过双星动力学来计算热亚矮星的质量也有点难度，需要合适的观测目标和大量的的观测数据。
星震学和双星动力学计算出的质量虽然精确，但目前只有很少的热亚矮星通过这两种方法计算出质量。
\citet{2012A&AFontaine}统计了过往的研究，只有16颗热亚矮星的质量是通过星震学得到，双星动力学方法得到的更少，只有11颗。
\subsection{恒星演化模型}
通过恒星演化模型计算恒星质量是天文学中确定恒星物理参数的核心方法之一。
目前恒星演化程序已经十分成熟，如\ref{MESA}介绍的MESA，基本可以解决大部分的恒星物理过程。
在给定初始参数（质量，金属丰度）的演化轨迹中，每一个一个时间点都有对应的演化参数，比如大气参数（重力加速度，有效温度，表面元素丰度），物理参数（半径，光度，年龄）。
通过观测，我们可以得到恒星的光谱，进而得到恒星的大气参数，将这些观测得到的大气参数与演化轨迹对比，通过网格差值或贝叶斯统计的方法得到恒星的质量等其他参数。

通过恒星演化模型计算质量的方法目前已经运用的十分广泛，红巨星及之前阶段都可以使用这种方法进行计算，一些大型的巡天，例如GAIA{\red}，它使用GPS\_photo给出的恒星质量就是这种方法。
但这种方法也有一定的局限性，它要求所计算的恒星的演化轨迹在赫罗图上是整齐排列的，即演化轨迹不出现简并。
而对于热亚矮星而言，由于其质量分为核心质量和壳层质量，微弱的壳层质量改变就会导致其演化轨迹的平移，所以，对于同一质量的热亚矮星，它在赫罗图上的区域不像主序或其他演化阶段一样是一条线（一条演化轨迹），而是一个面（一批演化轨迹），出现了简并情况。而且热亚矮星在壳层氢燃烧的阶段，还有可能出现壳层氢闪，再次增大了简并程度。

\subsection{光谱能量分布}
光谱能量分布（spectral energy distributions，SED）反映了恒星在不同波段的辐射能量分布。
我们可以计算出特定通带内恒星表面的合成通量密度，并将其与地球上观测到的通量密度进行比较，从而得到恒星的角直径。恒星表面的合成通量密度、地球上观测到的通量密度、恒星角直径、恒星半径和距离有如下关系 \citep{2018OAst...27...35H, 2023ApJLei}：
\begin{equation}
    \frac{f\left ( \lambda  \right ) }{F\left ( \lambda  \right ) } =\frac{\theta ^{2} }{4} =\frac{R^{2} }{d^{2}}
    \label{eq 1}
\end{equation}
其中，$F(\lambda)$ 是恒星表面的合成通量密度，$f(\lambda)$ 是在地球上观测到的通量密度，$\theta$ 是恒星的角直径，$d$ 是恒星与地球的距离，$R$ 是恒星的半径。
如果已知恒星的距离，恒星半径可以根据公式（1）确定。然后，再结合大气参数（如 ${\rm log} g$ 和 $T_{\rm eff}$），我们可以用以下公式计算出恒星的质量和光度：
\begin{align}
M & = \frac{gR^{2}}{G} \label{eq 2} \\
\frac{L}{L_{\odot} } & = \left ( \frac{R}{R_{\odot}} \right ) ^{2}\left ( \frac{T_{\rm eff}}{T_{\odot}} \right ) ^{4} \label{eq 3}
\end{align}


\section{观测数据及挑选}
在之前的研究中（\citealt{2018ApJ...868...70L,2019ApJ...881...135L, 2020ApJ...889...117L, 2023ApJ...942...109L}），利用LAMOST光谱识别了近1000颗单线热亚矮星。它们的大气参数，即有效温度（$T_{\text{eff}}$）、表面引力（${\rm log} g$）和氦氢对数比（$\log(n_{\text{He}}/n_{\text{H}})$），是通过合成光谱拟合H和He的剖面图确定的。它们的合成光谱是用\texttt{Synspec}（版本49；\cite{2007ApJSLanz}）和非局域热力学平衡（NLTE）Tlusty大气（版本204；\citealt{2017arXivHubeny}）生成的。

在本研究中，使用与 \cite{2023ApJLei} 中相同的方法计算了这些恒星的合成 SED，并将其用作 SENN 模型的训练标签。这些恒星的 LAMOST 观测光谱在经过归一化处理之后被用作 SENN 的输入。

\citet{2022A;ACulpan}编制了一份已知热亚矮星星表，其中包含从文献中收集的6616个独特星源。在这个星表中，它提供了3087颗恒星的大气参数和2791颗恒星的径向速度。 为了获得这些恒星的观测光谱，我们将该星表与 LAMOST DR11 和 SDSS DR18 数据集进行了交叉比对，获得了 4289 个光谱。在剔除了重复来源和低质量光谱（例如信噪比为 5.0）之后，剩下 3411 个已知热亚矮星的独特光谱。由于$T_{\text{eff}}$和${rm log} g$是本研究中确定恒星质量和光度的必要参数，因此最终只选择了\cite{2022AACulpan}星表中具有这两个参数的恒星进行后续分析，它包含了2047颗热亚矮星。

利用第2.1节构建的SENN模型和第2.2节选取的训练数据集，预测了所选2047颗热亚矮星的合成SED，并将在下一节中用来计算它们的质量、半径和光度。

\section{神经网络模型}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/SENN.pdf}
    \caption{The structure of deep learning model SENN.}
    \label{Fig SENN}
\end{figure}
我们设计了一个深度学习模型，将一个CNN神经网络与一个SE-block（\citealt{2017arXivhu}，以下简称SENN）集成在一起，用于预测所选热亚矮星的合成SED。

如图\ref{Fig SENN}所示，SENN 接受形状为 2984 美元/次美元 1 的归一化恒星光谱作为输入，并通过分层架构对其进行处理，从而预测 SED。该模型由三个模块组成。初始特征嵌入模块使用一维卷积层（64个滤波器，3个核，ReLU激活）来捕捉局部光谱特征，并将输出重塑为64 $\times$ 2982张量。然后采用挤压-激发（SE）特征细化模块，其中的全局平均池化（GAP）层将全局空间信息压缩成通道描述符。该描述符由两个密集层连接，以充分捕捉信道相关性并计算特定信道权重。然后将这些权重应用于原始特征图，生成最终的加权特征图。最后，SED 回归模块用于扁平化细化特征，通过 64 神经元密集层，并通过输出层生成最终预测结果。
\section{训练结果及不确定性分析}
为了评估利用 SENN 模型预测的 SED 所得到的质量、半径和光度的准确性，我们把图（ref{fig SENN quality}）中的数值与直接用 Tlusty 模型计算的 SED 所得到的数值进行了比较。
从图（ref{fig SENN quality}）的所有面板中可以清楚地看到，不同方法计算出的SED的半径、质量和光度值都具有很好的一致性，这表明本研究中SENN模型预测的SED是可靠的。
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/SENN_quality.pdf}
    \caption{Comparisons of radii (left panel), masses (middle panel) and luminosities (right panel) between the values based on the SEDs predicted by SENN model and SEDs calculated by Tlusty models.}
    \label{fig SENN quality}
\end{figure}

利用上述方法，我们得到了所选的2047颗热亚矮星的质量、半径和光度。质量值小于 0.1 $\rm{M}_\odot$ 或大于 1.0 $\rm{M}_\odot$ 的恒星没有在这里报告，因为这些值可能会受到输入参数的巨大不确定性的影响，对于正常的热亚矮星来说是不合理的。此外，只有具有可靠视差（例如，$\sigma_{\varpi}/\varpi\leq$ 0.2）的恒星才被纳入到下面的分析中。这样，我们最终得到了1025颗热亚矮星的主要参数（见表1），其中分别包含了617颗sdB星，67颗sdO星，210颗sdOB星，9颗He-sdB星，62颗He-sdO星和60颗He-sdOB星。
\chapter{热亚矮星物理参数计算结果}
\section{参数统计分布}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.85\linewidth]{figures/mass_vs_parameters.pdf}
    \caption{The relationship between mass and atmospheric parameters for the selected hot subdwarfs. Labels with different colors indicate the spectral classification from \citet{2022A&ACulpan}.
}
    \label{Fig mass_vs_parameters}
\end{figure}

表\ref{tab1}列出了所选的1025颗热亚矮星的质量、半径、光度和其他重要参数。从左到右依次列出了天体名称、Gaia source\_id、光谱等级、零点校正后的Gaia视差、$T_{\text{eff}}$、${\rm log} g$、消光系数（$A_{\rm V}$）以及本研究获得的四个参数，即角直径、半径、光度和质量。

图\ref{Fig mass_vs_parameters}中的四个板块分别给出了质量与大气参数之间的关系，例如，从左上到右下，分别给出了质量与$T_{text{eff}}$、${rm log} g$、$/log (n_{text{He}}/n_{text{H}})$和$/log L$的关系平面。可以发现，大多数被选中的热亚矮星的半径都在0.1到0.3 $R_{\odot}$之间，光度在0.5到2.5 $L_{\odot}$之间，质量在0.2到0.8 ${\rm M}_{\odot}$之间。这些结果与\citet{2023ApJLei}的结果是一致的，也可以参见他们研究中的图3。


\section{与其他研究工作的对比}
为了评估本研究中得到的质量、半径和光度的可靠性，我们将所选的热亚矮星与 \citet{2022AASchaffenroth}和 \citet{2023ApJLei}中分析的恒星进行了交叉比对，分别得到了24颗和600颗普通天体。常见恒星的质量、半径和光度的比较如图 4 所示。从图中可以看出，本研究的结果与前人的研究有明显的一致性，尤其是在半径和光度方面。不过，与其他两个参数相比，质量的比较表现出更大的离散性。这主要是由于表面引力的巨大不确定性会直接影响恒星质量的确定（见公式\ref{eq 2}），而它并不用于半径和光度的确定（见公式\ref{eq 1}和\ref{eq 3}）。

\begin{figure}
    \centering
    %\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figures/contrast_Fontaine.pdf}
    
    \includegraphics[width=0.3\linewidth]{figures/contrast_Schaffenroth_radius.pdf}
    \includegraphics[width=0.3\linewidth]{figures/contrast_Schaffenroth_mass.pdf}
    \includegraphics[width=0.3\linewidth]{figures/contrast_Schaffenroth_lumin.pdf} 
    
    \includegraphics[width=0.3\linewidth]{figures/contrast_Lei_radius.pdf}
    \includegraphics[width=0.3\linewidth]{figures/contrast_Lei_mass.pdf}
    \includegraphics[width=0.3\linewidth]{figures/contrast_Lei_lumin.pdf}
    \caption{Top panels: comparison of radii, masses and luminosities between this study and \citet{2022A&ASchaffenroth}. Bottom panles: comparison of radii, masses and luminosities between this study and \citet{2023ApJLei}.}
    \label{Fig contrast_pre}
\end{figure}


\section{热亚矮星的质量分布}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.45\linewidth]{figures/distribute_mass_plx.pdf}
    \includegraphics[width=0.45\linewidth]{figures/distribute_mass_logg.pdf}
    \caption{Mass distribution for selected hot subdwarfs with different precisions of parallax (left panel) and surface gravity (right panel). See contexts for details.}
    \label{Fig distribute_mass_err}
\end{figure}

由于本研究得到的质量精度主要取决于视差和表面引力的精度，我们在图5中显示了视差和表面引力不同不确定性下的质量分布。在左侧面板中，根据视差的相对不确定性（例如，$\sigma_{\varpi}/\varpi\leq$ 0.2、0.1 和 0.05）将整个样本分成三组。不出所料，随着视差精度从 0.2 提高到 0.05，每个质量分段中热亚矮星的数量都会减少。不过，三组热亚矮星的质量分布非常相似。可以看到，所有组的质量范围都很宽，在0.1-1.0 ${\rm M}_{\odot}$之间，并且呈现出两个明显的峰值：一个主峰在0.46 ${\rm M}_{\odot}$，一个次峰在0.36 ${\rm M}_{\odot}$（关于质量分布的详细讨论，请参见第4节）。另一方面，根据表面重力的相对不确定性（例如，${\rm log} g$ 相对于${\rm log} g$ 的不确定性分别小于 0.09、0.02 和 0.007），将整个样本分成了右图中的另外三组。该面板中的三组质量分布与左侧面板中的质量分布非常相似，在相同的质量值上也呈现出两个明显的峰值。考虑到不同参数精度下的质量分布相似，下面的分析采用了所有选定的热亚矮星。
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/distribute_mass_spclass.pdf}
    \caption{Mass distributions for selected hot subdwarf stars with different spectral classifications.}
    \label{Fig distribute_mass_spclass}
\end{figure}

在图\ref{Fig distribute_mass_spclass}中，我们根据热亚矮星的光谱分类，给出了它们的质量分布，例如贫氦sdB/sdOB星（红色虚线直方图）、富氦星（蓝色直方图，包括He-sdB、He-sdO和He-sdOB）以及贫氦sdO星（绿色直方图）。占热亚矮星种群大多数的贫氦sdB/sdOB星的质量分布与整个样本的质量分布非常接近，在0.46和0.36 ${rm M}_{\odot}$处有两个峰值。对于富氦热亚矮星来说，也有两个峰值，但其值与sdB/sdOB不同，分别出现在0.4和0.58 ${\rm M_\odot}$（见第4.3节的讨论）。然而，贫氦 sdO 星的质量分布要平坦得多，而且主要由低质量恒星组成。


\subsection{与前人质量分布对比}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/distribute_mass_with_previos_work.pdf} 
    \caption{Comparison of mass distribution between this study (red histogram) and \citet{2023ApJLei} (blue-dashed histogram).}
    \label{Fig distribute_mass_with_previos_work} 
\end{figure}
我们将整个样本的质量分布与图\ref{Fig distribute_mass_with_previos_work}中的（\citet{2023ApJLei}）质量分布进行了比较。两种质量分布的质量范围都很宽，都在 0.1 - 1.0 ${\rm M}_{\odot}$之间。这应该是由于输入参数（如视差和表面引力）的不确定性较大造成的，而这两个研究都使用了这些参数来估算热亚矮星的质量。总的来说，这两个质量分布显示出基本的一致性，即在 0.46 ${\rm M}_{\odot}$左右出现一个主峰，而且低质量和高质量两侧的分布趋势几乎相同。正如第 3.3 节所述，除了主峰之外，本研究的质量分布中还明显出现了第二个质量峰（约 0.36 ${\rm M}_{\odot}$）（红色直方图）。然而，在 \citet{2023ApJLei}（蓝色虚线直方图）的质量分布中，这一明显特征要模糊得多。请注意，这两项研究用于计算质量的输入表面引力来自不同的星表。本研究使用的参数来自于\citet{2022AACulpan}的目录，这些参数收集自其他文献\citep{2020AA...635A.193G，2021ApJS...256...28L，2021MNRAS.501...623J}。而 \citet{2023ApJLei} 中使用的参数来自 \citet{2018ApJ...868...70L, 2019ApJ...881...135L, 2020ApJ...889...117L}。这些研究中使用的光谱分析方法和观测光谱可能不同，从而导致获得的参数不同。例如，\citet{2021ApJS...256...28L}和 Lei 等人的表面引力系统误差约为 0.07 dex。因此，这些差异会导致质量分布的不一致，尤其是一些局部特征。

\subsection{贫氦sdBsdOB的质量分布}

\citet{2003MNRASHan}（以下简称Han03）对sdB型热亚矮星的形成进行了详细的双星群合成（BPS）研究。在他们的研究中，用不同的输入参数构建了12套模型，以研究它们对sdB星形成的影响。在这些模型中，集合2的模型（$Z=0.02$，平坦的初始质量比分布，$q_{\rm crit}$ = 1.5，$\alpha_{\rm CE}$ = $\alpha_{\rm th}$ = 0.75）被选为研究中拟合度最好的模型，可以满足sdB星的大部分观测性质。这些来自BPS模型的结果为直接与观测结果进行比较提供了极大的便利。

\begin{figure}
    \centering
    %\includegraphics[width=0.4\linewidth]{figures/distribute_mass_sdB_sdOB.pdf}
    \includegraphics[width=0.4\linewidth]{figures/distribute_mass_sdB_sdOB_with_hanset2.pdf}
    \includegraphics[width=0.4\linewidth]{figures/distribute_mass_sdB_sdOB_with_segovia2024_all.pdf}
    \caption{Left panel: comparison of mass distribution for sdB/sdOB stars between this study (light gray histogram) and Han03 (black solid curve). Right panel: comparison of mass distribution for sdB/sdOB stars between this study (light gray histogram) and \citet{2025PASA...42...12R} (black solid curve).}
    \label{Fig distribute_mass_sdB_sdOB}
\end{figure}
图\ref{Fig distribute_mass_sdB_sdOB}的左侧显示了 Han03 第 2 组质量分布（黑色实心曲线）与本研究质量分布（浅青色直方图）的比较。如第4.1节所述，由于表面引力和视差的不确定性较大，本研究中sdB/sdOB星的质量分布显示出从0.1到1.0 ${\rm M}_{\odot}$的较大质量范围。而Han03的质量分布范围为0.3到0.8 ${\rm M}_{\odot}$，比本研究的范围要窄。由于He点燃的最小核心质量约为0.3 ${\rm M}_{\odot}$（见\citealt{2002MNRASHan}中的表1和表2），因此在Han03的质量分布中，低质量一侧的质量在0.3 ${\rm M}_{\odot}$左右有一个分界线。因此，本研究中质量小于0.3 ${\rm M}_{\odot}$的恒星可能是低质量WD或极低质量（ELM）WD（另见\citealt{2023ApJLei}第4.4节的讨论）。

此外，在Han03的质量分布中还出现了三个明显的峰值，例如在0.46、0.4和0.36 ${\rm M}_{\odot}$左右，这三个峰值是由第一个CE、第二个CE和第一个稳定的RLOF通道组合而成的（见图12和他们研究的第7.3节）。从图中可以清楚地看到，我们研究中的初级质量峰（约 0.46 ${\rm M}_{\odot}$）与 Han03 的模型预测非常吻合。我们研究中的次级质量峰（例如约 0.36 ${\rm M}_{\odot}$）与 Han03 的左侧质量峰相对应，这表明这些恒星主要是由稳定的 RLOF 通道产生的，其原生体处于赫兹普隆间隙演化阶段。另一方面，Han03的中间质量峰（例如，大约0.4 ${\rm M}_{\odot}$）在我们的质量分布中并不明显，对于它来说，这些恒星主要是由第一和第二CE通道产生的，其原生体的质量大约为1.9 ${\rm M}_{\odot}$（见 \citealt{2002MNRASHan}中的表1）。

\citet{2025PASA...42...12R}也通过BPS方法研究了各种参数对sdB星形成的影响。与以往的BPS模型（如Han03，\citealt{2012ApJ...746...186C}）不同的是，他们在研究中使用了分析处方来考虑富H壳，这就更接近sdB星的真实演化。在图8的右侧，我们将citet{2025PASA...42...12R}预测的质量分布与这项研究的质量分布进行了比较。\citet{2025PASA...42...12R}预测的sdB恒星的质量范围(例如，右图中的黑色实心曲线所示）大致在0.3到0.62 ${rm M}_{\odot}$之间，比H03和本研究的结果要窄一些。需要注意的是，在他们的研究中使用的 BPS 代码 COMPAS \citep{2022ApJSRiley} 并不包括两个 He-WDs 合并的结果。12R}仍然对这一通道给出了简化的定性分析\footnote{详见他们研究的第3.2.4节和本研究的第4.3节}，因此在\citet{2025PASA...42...12R}的质量分布中缺少一些大质量热亚矮星。

\subsection{}{富氦热亚矮星的质量分布}
两个He-WDs合并被认为是富He热亚矮星的主要形成途径。Han03预测了这一渠道产生的富He热亚矮星的质量范围大致在0.42到0.76 ${\rm M}_{\odot}$之间，在0.5到0.6 ${\rm M}_{\odot}$之间有一个相对平缓的峰值。\citet{2012MNRASZhang}研究了两个He-WDs的三种不同合并模型，发现其结果可以解释富He星的大部分观测重力、有效温度和表面化学丰度。此外，citet{2017ApJ...835...242Z}发现，He-WD与低质量MS星的合并可能有助于富氦（iHe-rich）热亚矮星的形成。另一方面，\citet{2021MNRAS.507.4603M}提出MS伴星可以在Ia SN爆炸中幸存下来，并演化成富氦热亚矮星（另见\citealt{2024RAA....24e5003J}）。他们得到了这一形成通道的质量范围为 0.35 到 1.0 ${\rm M}_{\odot}$，质量峰值在 0.4 ${\rm M_\odot}$左右。

如上所述，\citet{2023ApJLei}得到了LAMOST观测到的富He热亚矮星的质量范围很宽，质量峰值在0.42 ${\rm M}_{\odot}$左右，质量峰值远低于Han03和\citet{2012MNRASZhang}的预测值。虽然质量峰值与\citet{2021MNRAS.507.4603M}的预测值基本一致，但他们的通道诞生率可能太低，无法解释已发现的富氦热亚矮星（\citealt{2021MNRAS.507.4603M}第4.1节）。根据这些结果，\citet{2023ApJLei}提出，除了两个He-WDs合并之外，其他一些渠道也可能促成富He热亚矮星的形成。\citet{2024ApJS...271...21L}在分析了富He热亚矮星的表面化学丰度之后，也得出了类似的结论。

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/distribute_mass_He_rich.pdf}
    \caption{Left panel: comparison of mass distribution for He-rich stars between this study (light gray histogram) and \citet{2023ApJLei} (red-dotted curve). Middle panel: comparison of mass distribution for He-rich stars between this study and Han03 (black solid curve). Right panel: comparison of mass distribution for He-rich stars between this study and \citet{2025PASA...42...12R} (blue dot-dashed curve). }
    \label{Fig distribute_mass_He_rich}
\end{figure}

然而，由于\citet{2023ApJLei}分析的样本大小有限，例如他们的样本第3组只有39颗富氦恒星（见他们的研究表2），如果样本不完整，就会影响质量分布的统计结果。利用本研究设计的深度学习模型 SENN（见第 2.3 节），计算出了 2000 多条所选热亚矮星的合成 SED。利用这些信息，本研究测定了131颗富氦恒星的质量，样本量远远大于\citet{2023ApJLei}的分析。因此，比较本研究与之前研究的质量分布，有助于更好地理解富氦热亚矮星的形成。

在图\ref{Fig distribute_mass_He_rich}的左侧面板中，我们比较了本研究与\citet{2023ApJLei}中得到的富氦恒星的质量分布。从图中可以看出，这两项研究中的富氦恒星的质量分布都比较宽，大致在0.3到0.9 ${\rm M}_{\odot}$之间（需要注意的是，质量小于0.3 ${\rm M}_{\odot}$的热亚矮星在模型预测中是不可能产生的，因此我们在比较结果中剔除了这些恒星）。本研究的质量分布中出现了两个明显的质量峰（浅青色直方图），例如，0.56 ${\rm M}_{\odot}$左右的主峰和0.4 ${\rm M}_{\odot}$左右的次峰。如上所述，在\citet{2023ApJLei}（红点曲线）的质量分布中，可以清晰地看到一个在0.42${\rm M}_{\odot}$左右的尖锐质量峰，它与本研究中的次质量峰相对应。然而，可能是由于他们的研究中使用的样本量较小，在 \citet{2023ApJLei} 的质量分布中无法分辨出介于 0.5 和 0.6 ${\rm M}_{\odot}$ 之间的明显质量峰。

在图\ref{Fig distribute_mass_He_rich}的中间部分，我们将本研究中富氦恒星的质量分布与Han03的质量分布进行了比较。从图中可以清楚地看到，我们的质量分布比Han03的质量分布要宽得多（例如，大约从0.42到0.76 ${\rm M_\odot}$，黑色实心曲线）。正如第4.1节所讨论的，这可能是由于视差和重力的不确定性较大，而这两个因素在很大程度上影响了本研究的质量测定精度。在Han03中，通过两个He-WD合并产生的富He星呈现出一个介于0.5到0.6 ${\rm M}_{\odot}$之间的平缓质量峰，这可能与本研究中0.56 ${\rm M}_{\odot}$左右的主质量峰大致对应。然而，Han03的BPS模型并没有预测到0.4 ${\rm M}_{\odot}$左右的次级质量峰，这将证明两个He-WD合并通道并不能解释所有富He热亚矮星的形成。

尽管如此，如果将我们的结果与最近的BPS模型预测进行比较，就会得出一些不同的结论。(见右图）。来自\citet{2025PASA...42...12R}合并通道的富He恒星的质量分布（蓝色点虚线 (蓝色圆点虚线）在0.55 ${\rm M}_{\odot}$和0.41 ${\rm M}_{\odot}$附近呈现出两个明显的质量峰（见他们的研究图14），这与我们的研究（浅灰色直方图）所显示的两个质量峰完全吻合。然而，citet{2025PASA...42...12R}预测的次级质量峰（例如，0.41 ${\rm M}_{\odot}$）附近富氦恒星的相对数量要少于本研究。正如他们在第3.2.4节中所讨论的，在双星演化过程中，次级质量峰在很大程度上取决于质量转移吸积效率。当吸积效率等于 0 时，次质量峰就会消失，而当吸积效率为 1 时，次质量峰就会与主质量峰相当。

基于上述讨论，本研究得到的结果表明，两个氦-WD合并通道会产生大部分观测到的富氦热亚矮星。双星演化的RLOF中的质量转移必须是部分甚至完全保守的，才能产生0.4 ${\rm M}_{\odot}$左右的富氦热亚矮星。然而，也不能完全排除这些质量较小的富氦恒星的其他潜在形成途径。
\chapter{总结与展望}
\section{结论}
在这项研究中，我们设计了一个深度学习模型 SENN，借助 LAMOST 和 SDSS 的光谱来计算大量已知热亚矮星的合成 SED。通过西班牙虚拟天文台的 VOSA 服务，将预测的 SED 与观测到的通量进行比较，获得了 1025 个热亚矮星的物理参数（如质量、半径和光度）。
有了这些大量样本的参数，将观测结果与模型预测进行比较将有助于我们更深入、更全面地了解热亚矮星的形成过程。

sdB/SdOB星质量分布中的两个质量峰（例如0.46和0.36）与BPS模型的预测一致，分别对应于CE抛射和稳定RLOF的产生。在富氦恒星的质量分布中，也明显出现了一个主峰（约0.56 ${\rm M}_{\odot}$）和一个次峰（约0.4 ${\rm M}_{\odot}$）。虽然BPS模型可以很好地预测主质量峰，但模型中次质量峰的出现在很大程度上取决于双星演化中RLOF阶段的质量转移吸积效率。这些结果表明，两个氦-WD合并通道可以产生大部分观测到的富氦热亚矮星，但质量转移在双星演化中应该是部分甚至完全保守的。考虑到本研究中获得的质量存在较大的不确定性，因此并不能完全排除富氦热亚矮星的其他形成途径。我们迫切需要对热亚矮星的物理参数进行更精确的测定。
\section{展望}