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\chapter{热亚矮星的演化}
\label{cha:chapter02}

热亚矮星有着与众不同的演化方式和状态，它们主要分为处在双星系统中的热亚矮星和单星热亚矮星两种类型，处在双星系统中的热亚矮星又分为密近双星系统和长周期双星系统两种类型，不同类型和轨道周期暗示着它们来自不同的形成渠道。热亚矮星的氢壳层质量很薄，当中心的氦核快燃尽时，它们并不会再次点燃氢壳层，而是进入AGB -- manque或Post -- EAGB阶段\cite{张先飞2009,Dorman1994}，其演化轨迹如图\ref{fig1.2}所示。水平分支星的壳层质量相对于热亚矮星要大一些，当其中心氦核接近燃尽时，它们还可以再次点燃氢壳层从而迅速膨胀进入渐进巨星阶段(AGB)。不同的壳层质量影响着热亚矮星的演化，并可能对于热亚矮星的大气参数起着决定性作用。本章主要探讨了热亚矮星的可能形成渠道，并利用恒星演化程序MESA对热亚矮星的演化进行了细致的研究。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=14cm,height=12cm]{figures/Fig.2.jpg}
\caption{水平分支星和热亚矮星的演化轨迹图。图中深色方框区域代表的是高温端的热亚矮星，白色方框区域代表的是水平分支星，从图中可以看出当热亚矮星结束中心的氦燃烧以后并不会经历AGB阶段。图片来自Dorman et al.(1993)\cite{Dorman1994}。}\label{fig1.2}
\end{figure}


\section{热亚矮星的可能形成渠道}

大部分热亚矮星都被发现处在双星系统中，而热亚矮星的单星演化模型很难解释小质量恒星是如何在红巨星阶段抛射掉绝大部分的氢壳层从而变成一颗热亚矮星，热亚矮星的形成可能需要经过双星间的相互作用。Pelisoli et al.(2020)\cite{Pelisoli2020}研究发现热亚矮星的伴星存在着一个自转加速过程，这个自转加速过程很可能是伴星通过吸积热亚矮星前身星转移的物质而实现，因此他们认为热亚矮星不大可能来自于单星的演化，热亚矮星的形成通常需要经过双星间的相互作用。

双星间的相互作用在热亚矮星的形成中发挥着重要的作用，它们除了可以很好的解释热亚矮星前身星壳层质量的丢失，不同的双星演化渠道也可以很好的解释热亚矮星的轨道周期分布。热亚矮星的主流形成渠道主要包括稳定的洛希瓣物质转移、公共包层抛射和双氦白矮星并合\cite{Han2002,Han2003,Heber2016}，它们的演化途径如图\ref{fig1.4}所示。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=15cm,height=13cm]{figures/Fig.3.jpg}
\caption{热亚矮星的公共包层抛射和稳定的洛希瓣物质转移演化渠道图。稳定的洛希瓣物质转移渠道会形成长周期热亚矮星双星系统，公共包层抛射掉渠道可以形成短周期的热亚矮星双星系统。图片来自Heber et al.(2016)\cite{Heber2016}。}\label{fig1.4}
\end{figure}
\subsection{稳定的洛希瓣物质转移}

由主星为初始质量小于2.0 $M_\odot$的小质量恒星组成的双星系统，如果主星比伴星的质量比小于1.2 -- 1.5，当主星演化到接近红巨星顶端时，由于伴星引力的作用，主星会逐渐膨胀至充满洛希瓣，随后主星的物质会稳定的向伴星转移。当主星的大部分氢壳层物质都丢失以后，只留下了一个很薄的氢壳层，如果在这个过程中主星可以顺利点燃氦核，那么将形成一个长周期的热亚矮星双星系统\cite{Han2002,Han2003,Chen2013}。Chen et al.(2015)\cite{Chen2013}利用MESA恒星演化程序模拟了稳定的洛希瓣物质转移形成热亚矮星的轨道周期分布，她们所得出的热亚矮星的轨道周期分布如\ref{fig1.4}黑色的实线所示。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=14cm,height=12cm]{figures/Fig.4.jpg}
\caption{通过稳定洛希瓣物质转移渠道形成的热亚矮星的轨道周期分布。图中黑色的实线代表的是通过稳定洛希瓣物质转移渠道形成的热亚矮星的轨道周期分布，黑色的点线代表考虑了恒星大气的稳定洛希瓣物质转移过程形成的热亚矮星轨道周期分布，条竖线代表的是观测上给出的长周期热亚矮星的轨道周期分布。图片来自Chen et al.(2014)\cite{Chen2014}。}\label{fig1.4.1}
\end{figure}
通过稳定的洛希瓣物质转移渠道形成的热亚矮星轨道周期大概在400--1100 天，峰值在830 天。如果考虑恒星大气的稳定洛希瓣物质转移过程，热亚矮星双星系统的轨道周期会增加1.17倍，最大的轨道周期可以延长到1600 天。在考虑了恒星大气的稳定洛希瓣物质转移过程以后，观测上得到的热亚矮星轨道周期和理论上通过稳定洛希瓣物质转移形成热亚矮星的轨道周期符合的很好。

对于由一颗初始质量大于2.0 $M_\odot$的中等质量恒星组成的双星系统，如果它的质量比小于4.0，主星可能会在主序或者穿越赫氏空隙时充满洛希瓣，并可能通过稳定洛希瓣物质转移渠道形成热亚矮星双星系统。通过这种渠道形成的热亚矮星轨道周期比较短，图\ref{fig1.4.1}中轨道周期大约为$\log P = 2.5$左侧的黑色实线部分代表Chen et al.(2013)\cite{Chen2013}所模拟的中等质量恒星在通过赫氏间隙时发生物质转移形成的热亚矮星的轨道周期分布。从图\ref{fig1.4.1}中可以看出通过稳定的洛希瓣物质转移形成热亚矮星的轨道周期主要分成了两部分，在它们之间有一个明显的缺口。造成这个缺口出现的原因是初始质量小于2.0 $M_\odot$的恒星在红巨星顶端的半径相对于质量大于2.0 $M_\odot$的恒星快速减小，导致了形成热亚矮星的轨道周期分布出现了跳跃。这个缺口右边的黑色实线所包含的热亚矮星是由初始质量小于2.0 $M_\odot$的恒星通过稳定洛希瓣物质转移形成，而左边的黑色实线所包含的热亚矮星是由初始质量大于2.0 $M_\odot$的恒星通过稳定洛希瓣物质转移形成。

\subsection{公共包层抛射}

公共包层抛射渠道是形成热亚矮星的一种重要方式\cite{Han2002,Han2003,Xiong2016,Wu2018,Kramer2020}，观测上有很多热亚矮星被发现处在密近双星系统中，它们很可能是通过公共包层抛射渠道形成。由小质量恒星组成的双星系统，如果双星间的质量比大于1.2 -- 1.5，主星在靠近红巨星顶端时充满洛希瓣并开始向伴星转移物质，由于伴星不能完全吸积来自主星的物质，它们会逐渐附着在伴星周围直到充满伴星的洛希瓣，此时便会形成公共包层。由于双星在绕转过程中会不断和公共包层发生摩擦，轨道动能转换为热能，这些热能会注入到公共包层中，为公共包层的抛射提供能量。随着轨道动能逐渐变少，双星的轨道周期逐渐收缩，最终在双星和公共包层的相互作用下公共包层被抛射掉。如果在这个过程中主星的氦核可以点燃，便可以形成短周期热亚矮星双星系统，轨道周期大概在0.1 -- 10 天\cite{Han2003}。通过公共包层抛射形成热亚矮星主要包括第一次公共包层抛射和第二次公共包层抛射两种方式。通过第一次公共包层抛射渠道形成的热亚矮星的伴星通常是小质量主序星，第二次公共包层抛射渠道形成的热亚矮星的伴星通常是白矮星。除了以上两种密近双星系统中热亚矮星的伴星，更小质量的未发生核反应的褐矮星或者巨行星也有可能和红巨星发生相互作用而发生公共包层抛射，可能形成更加特殊的密近热亚矮星双星系统\cite{Kramer2020}。

\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=11.5cm,height=15cm]{figures/FIG0.jpg}
\caption{不同伴星类型密近热亚矮星双星系统的轨道周期分布图。图中上部分红色的柱状图代表热亚矮星伴星是小质量主序星或者褐矮星的双星系统轨道周期分布，图中下部分蓝色的柱状图代表热亚矮星伴星是白矮星的双星系统轨道周期分布。图片来自 Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}。}\label{fig2.1.2}
\end{figure}

观测上发现了很多密近热亚矮星双星系统的伴星是小质量主序星或者褐矮星以及白矮星，Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}统计了他们所观测到的具有不同类型伴星的热亚矮星双星系统的轨道周期分布，如图\ref{fig2.1.2}所示。小质量主序星或者褐矮星伴星的热亚矮星双星系统大概占了Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}所观察到的密近热亚矮星双星系统的三分之一，它们的轨道周期分布大概在一小时到一天，并在8小时处有一个快速的衰减，这种类型的热亚矮星双星系统轨道周期都很短，可能是由于在公共包层抛射过程中小质量的伴星旋进到了公共包层内部很深的位置，因此形成了轨道周期很短的热亚矮星双星系统。Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}所观测到伴星为白矮星的密近热亚矮星双星系统大概占据了总样本的三分之二，它们的轨道周期在一小时到27天的范围内有一个较广泛的分布，并在大约1天和5 -- 10天处表现出了两个明显的峰值，这可能是由于不同类型的白矮星伴星经过不同的公共包层抛射过程形成了不一样的密近热亚矮星双星系统。在Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}对于白矮星伴星质量分布进一步研究中发现了轨道周期短于0.1天的白矮星质量都很大，它们可能是质量在0.80 $M_\odot$左右的碳氧白矮星或者氧氖白矮星。在5 -- 10天的轨道周期处，白矮星的质量显著变得更小，它们大多数可能是质量在0.40 $M_\odot$左右的氦白矮星。在更长的轨道周期处，白矮星质量又出现了增大的趋势，这预示着它们可能属于第三类的小质量碳氧白矮星。总体来看公共包层抛射所预测的密近热亚矮星双星系统特征和观测上符合的很好，但不同类型的白矮星热亚矮星双星系统还需要更加详细的研究去解释它们的演化过程以及轨道周期分布。

\subsection{双氦白矮星并合}

双氦白矮星并合渠道主要形成的是单星热亚矮星\cite{Han2002,Han2003,Zhang2012,Hall2016}，观测上有接近三分之一的热亚矮星被认为可能是单星，双氦白矮星并合渠道可以为它们的形成特别是单星富氦热亚矮星提供一种可能的解释。密近的双氦白矮星系统一般是通过双星间的公共包层抛射渠道形成，对于轨道周期小于8小时的双氦白矮星双星系统，在双星的绕转过程中，由于引力波辐射带走了轨道角动量，系统的轨道周期不断收缩，直到质量较小的白矮星在伴星潮汐力的作用下逐渐充满其洛希瓣，随后便会向主星转移物质\cite{张先飞2009}。双氦白矮星并合主要包括慢并合、快并合和复合并合三种方式\cite{Zhang2012}。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=14cm,height=11cm]{figures/Fig.5.jpg}
\caption{通过双氦白矮星并合形成热亚矮星的演化示意图。从左到右依次为双氦白矮星慢并合、快并合、复合并合演化过程。图片来自Zhang et al.(2012)\cite{Zhang2012}。}\label{fig1.4.3}
\end{figure}
慢并合模型假设伴星的全部物质在几分钟内转移至主星周围并在其周围形成了一个吸积盘，随后物质以大约一半爱丁顿吸积率($10^{-5}$ $M_\odot$/yr)堆积在主星上，这个过程可能会持续几百万年的时间\cite{Zhang2012}。快速合并模型假设质量较小的白矮星迅速将其整个质量直接转移到主星表面，主星由于接受转移物质而被加热到$10^{8}$ K从而触发氦燃烧，物质在巨大的能量释放过程中迅速膨胀并在几分钟内形成热日冕\cite{Zhang2012}。复合并合模型包含快并合和慢并合两种方式，较小白矮星质量的30\% -- 50\%左右在主星周围形成了热日冕，而其余部分在主星周围形成了吸积盘\cite{Zhang2012}。Zhang et al.(2012)\cite{Zhang2012}认为如果在这个过程中氦核可以被点燃，氢元素会被完全燃烧掉，则会形成一颗富氦的单星热亚矮星，双氦白矮星并合可以很好的解释富氦热亚矮星的起源。

\subsection{热亚矮星的其它可能形成渠道}

稳定的洛希瓣物质转移、公共包层抛射和双氦白矮星并合被认为是热亚矮星的主要形成方式，它们的诞生率较高，并且观测到的轨道周期分布和理论预测相符合。除了以上三种热亚矮星的演化方式，还有一些其它的热亚矮星形成渠道也被深入研究。在恒星的红巨星阶段通常会存在大量的星风造成物质损失，Tout et al.(1988)\cite{Tout1988}认为标准的Reimers星风损失速率太低了，这无法解释观测到的双星在稳定的洛希瓣物质转移前就出现的质量反转现象，因此他们提出了在伴星潮汐力作用下的潮汐增强星风机制。Lei et al.(2015，2016)\cite{Lei2015,Lei2016}认为热亚矮星的前身星可以通过双星间的潮汐增强星风机制损失绝大部分的壳层质量而形成热亚矮星，这种热亚矮星的轨道周期基本都在1000 天以上。Meng et al.(2018)\cite{Meng2017,Meng2018,Meng2021}提出了Ia型超新星爆发残留伴星可能形成热亚矮星，这种渠道可以形成中等富氦的热亚矮星，不过他们认为这种渠道的热亚矮星诞生率比较低，大概10\%的中等富氦热亚矮星可能是通过这种渠道所形成。Politano et al.(2008)\cite{Michael2008}认为由红巨星和小质量主序星或者褐矮星组成的双星系统在演化过程中可能会产生公共包层，在双星的公共包层演化过程中，红巨星可能和小质量主序星或者褐矮星发生并合从而产生一颗贫氦的单星热亚矮星。Zhang et al.(2017)\cite{Zhang2017}提出氦白矮星并合小质量主序星可以形成中等富氦热亚矮星，但是双星并合之后的产物在中等富氦热亚矮星阶段只停留大概5 Myr，随后元素扩散效应便会把中等富氦热亚矮星变为贫氦热亚矮星，它剩余的大概70 Myr的演化时间都将表现为贫氦的大气成分。通过氦白矮星并合主序星形成热亚矮星的诞生率也并不高，只有7.57\times$10^{-5}$ $M_\odot$/yr，大概是双氦白矮星并合形成热亚矮星诞生率的五分之一。Miller et al.(2022)\cite{Miller2022}提出碳氧白矮星并合氦白矮星可以形成富氦的热亚矮星，这种形成渠道可以解释强磁场富氦热亚矮星的形成。

\section{利用MESA模拟热亚矮星的演化}

很多时间恒星的现有演化状态是未知的，它们的可能起源以及最终归宿也无从知晓，恒星演化计算理论大大拓宽了我们的研究方向以及对于恒星演化的认识。恒星的内部结构可以利用恒星的质量分布方程、流体静力学平衡方程、光度方程、温度梯度方程、物态方程来描述，如果恒星的化学成分和总质量唯一确定，我们便可以通过求解以上五个方程得到恒星的内部结构以及演化参数。恒星天体物理学实验模块(MESA)是一套开源且高效的库\cite{MESA2010,MESA2013,MESA2015,MESA2018,MESA2019}，它在计算恒星天体物理学有着广泛的应用，MESA大大便捷了我们在恒星演化方面的计算。MESA是一个一维恒星演化模块，它结合了许多数值和物理模块，用于模拟从极低质量到大质量恒星范围内各种恒星的演化过程。MESA中提供了设置状态方程、不透明度、核反应速率、元素扩散和大气边界条件等模块，利用这些模块我们可以构造自己想要设置的恒星演化参数和过程。MESA中还有一些详细的演化示例，包括中等质量恒星在氦核燃烧阶段和氦壳燃烧阶段的演化，渐近巨星支阶段的热脉动演化，大质量恒星从主序前到铁核坍缩的完整演化等，利用这些已经构造好的模块可以帮助初学者更好的使用MESA\cite{MESA2010,MESA2013,MESA2015,MESA2018,MESA2019}。

近年来MESA恒星演化程序由于强大的计算性能得到了广泛应用，在MESA的帮助下我们可以计算各类恒星从原恒星一直演化到白矮星的过程。而对于热亚矮星这类特殊恒星，由于在红巨星阶段MESA需要计算的方程比较复杂，它的运行速度并不高，模拟热亚矮星的演化比一般的恒星要复杂。如果每次模拟热亚矮星的演化都从恒星的主序阶段开始，它们都需要经过红巨星阶段之后才能变成热亚矮星，这在利用MESA进行模拟时是很浪费时间的。因此我们一般先将一颗大约为太阳质量的恒星演化至红巨星阶段，此时恒星中心的氢已经耗尽，在中心部分留下了一个简并的氦核，随着氢壳层燃烧产生的氦不断堆积到氦核上，氦核的质量逐渐增加，当氦核增长到临界氦闪质量的时候便会点燃氦核。此时的氦燃烧并不稳定，氦核中的电子简并并没有完全解除，这种非稳定的氦燃烧过程会持续数百万年的时间。随着氦燃烧的进行，中心的氦丰度会逐渐降低，氦核中的电子简并完全解除，氦燃烧也趋于稳定。一般我们会在恒星中心的氦丰度下降到0.95即快要接近稳定氦燃烧的时候结束MESA运算，并保存运算程序，这时会生成一个mod文件。在下次进行热亚矮星演化时只需要调用该文件，并重新改写计算热亚矮星演化的控制文件，MESA恒星演化程序便会接着上次的计算结果进行计算，从而得到热亚矮星的演化轨迹，这大大缩短了MESA的运算时间。我们模拟热亚矮星演化的主要控制参数如下所示：

   star job \quad 设置控制演化的参数
   
   load saved model = .true. \quad  加载已经保存的演化模块
   
   saved model name = 'pre zahb.mod' \quad  加载保存的模块
   
   relax mass = .true. \quad  重新设置恒星的质量
   
   new mass = 0.463   \quad  设置新的质量是0.463 $M_\odot$
   
   use Type2 opacities = .true. \quad  使用二型不透明度表格
   
   Zbase = 0.02 \quad  设置金属丰度为0.02
   
   use gold tolerances = .true. \quad  控制数值求解参数
   
   max model number = 8000  \quad 设置演化的最多模型数量为8000
   
   mixing length alpha = 1.9  \quad  设置对流混合长为1.9
   
   MLT option = 'Henyey'  \quad  对流混合长选择为'Henyey'模型
   
   log L lower limit = 0  \quad   当恒星演化至光度低于0时停止运算

\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=14cm,height=11cm]{figures/M.jpg}
\caption{利用恒星演化程序模拟的不同壳层质量热亚矮星在$T_{\rm eff}$ -- $\log g$图上的演化轨迹。}\label{fig2.2}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=14cm,height=11.5cm]{figures/E.jpg}
\caption{利用恒星演化程序模拟的不同壳层质量热亚矮星在温度 -- 光度图上的演化轨迹。}\label{fig2.2}
\end{figure}
我们利用MESA分别模拟了金属丰度为0.02，氦核质量为0.462 $M_\odot$，氢壳层质量为0.0 $M_\odot$、0.001 $M_\odot$、0.003 $M_\odot$和0.006 $M_\odot$的热亚矮星的演化。它们在$T_{\rm eff}$ -- $\log g$图上的演化轨迹如图2.6所示，在温度 -- 光度图上的演化轨迹如图2.7所示，演化过程中产生的恒星参数在表格2.1 -- 2.4中。从图2.6可以看出壳层质量对于热亚矮星的表面有效温度和重力加速度影响很大，随着壳层质量的增加，热亚矮星的表面有效温度和重力加速度逐渐变小。热亚矮星一生大部分的时间都是在氦核燃烧阶段度过，从表格2.1中可以看出，热亚矮星从中心氦丰度为0.93下降到接近于0花费了110 Myr，在这段时间内热亚矮星的表面有效温度基本不变，重力加速度逐渐变小，当热亚矮星中心的氦接近耗尽时，热亚矮星的温度开始缓慢上升。热亚矮星的中心氦完全燃尽以后，它会进入氦壳层燃烧阶段，此时热亚矮星的温度迅速上升，但是热亚矮星在氦壳层燃烧阶段的停留时间较短，只有大概20 Myr。当热亚矮星的氦壳层燃烧结束以后，它会不断的收缩并变成一颗碳氧白矮星，随后会进入到碳氧白矮星的冷却阶段。从不同壳层质量热亚矮星的的温度 -- 光度图可以看出，热亚矮星的壳层质量对于它们光度的影响并不大，随着壳层质量的增加，热亚矮星的光度只有略微的改变。在热亚矮星中心的氦燃烧阶段，它的光度也在随着演化缓慢增加，当热亚矮星中心的氦接近燃尽时，它的光度增加的速度加快，并在氦壳层燃烧阶段快速增长。当热亚矮星的氦壳层燃烧熄灭以后，热亚矮星的光度经历了一个极大值，并由于冷却收缩而逐渐降低。

\section{利用热亚矮星的演化轨迹估算热亚矮星的质量}

为了把我们所模拟的热亚矮星演化轨迹和观测到的热亚矮星样本进行对比，我将部分Lei et al.(2018;2019;2020)\cite{Lei2018,Lei2019,Lei2020}证认的sdB/sdOB型热亚矮星样本放到了不同壳层质量热亚矮星演化轨迹的$T_{\rm eff}$ -- $\log g$图中。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=14cm,height=12cm]{figures/FFIG.4.jpg}
\caption{不同壳层质量热亚矮星的演化轨迹和观测到的热亚矮星在$T_{\rm eff}$ -- $\log g$图上的对比。}\label{fig2.2}
\end{figure}
通过两者的对比可以看到大部分的热亚矮星样本都和它们的演化轨迹符合的很好，大部分热亚矮星的质量可能都在0.46 $M_\odot$附近，这和Han et al.(2003)\cite{Han2003}所预测的热亚矮星的质量分布峰值很接近。虽然这种方法能直观的反应出热亚矮星的质量，但它也有一些弊端。在热亚矮星演化轨迹的$T_{\rm eff}$ -- $\log g$图中，可能会有几条不同质量热亚矮星的演化轨迹通过或靠近同一个观测数据点，如果只是通过两者的直接对比从而给出热亚矮星的质量，这样的方法精确度并不高，只能粗略的给出热亚矮星的质量。

\begin{table}[h]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.9\linewidth}
\caption{氦核质量为0.462 $M_\odot$，氢壳层质量为0.0 $M_\odot$的热亚矮星演化参数。}\label{tab2}
\begin{tabular}{lcccccccc}  
\toprule[1.5pt]
年龄 & 碳氧核质量 & log $T_{\rm eff}$ & log $L$ & $R$     & log g & log cntrT & 中心氦丰度  \\
\midrule[1pt]
M yr & $M_\odot$ & K & $L_\odot$ & $R_\odot$     & cm $\rm s^{-2}$ & K & --   \\
%\midrule[1pt]
1.63      & 0.000          & 4.534     & 1.120  & 0.103  & 6.074  & 8.065        & 0.92809      \\
4.89      & 0.000          & 4.534     & 1.127  & 0.104  & 6.066  & 8.067        & 0.88631      \\
8.69      & 0.000          & 4.534     & 1.137  & 0.105  & 6.057  & 8.069        & 0.83861      \\
12.68     & 0.000          & 4.534     & 1.147  & 0.107  & 6.048  & 8.072        & 0.78734      \\
16.55     & 0.000          & 4.534     & 1.157  & 0.108  & 6.039  & 8.074        & 0.73708      \\
20.38     & 0.000          & 4.535     & 1.166  & 0.109  & 6.030  & 8.077        & 0.68689      \\
24.95     & 0.000          & 4.535     & 1.178  & 0.110  & 6.019  & 8.080        & 0.62669      \\
29.48     & 0.000          & 4.535     & 1.190  & 0.111  & 6.009  & 8.084        & 0.56652      \\
33.99     & 0.000          & 4.536     & 1.202  & 0.113  & 5.999  & 8.087        & 0.50638      \\
37.72     & 0.000          & 4.537     & 1.213  & 0.114  & 5.991  & 8.091        & 0.45631      \\
41.45     & 0.000          & 4.537     & 1.223  & 0.115  & 5.984  & 8.095        & 0.40628      \\
46.66     & 0.000          & 4.539     & 1.237  & 0.116  & 5.976  & 8.102        & 0.33653      \\
50.58     & 0.000          & 4.541     & 1.248  & 0.116  & 5.972  & 8.107        & 0.28426      \\
55.74     & 0.000          & 4.544     & 1.263  & 0.116  & 5.971  & 8.116        & 0.21668      \\
60.34     & 0.000          & 4.548     & 1.275  & 0.116  & 5.976  & 8.126        & 0.15849      \\
65.05     & 0.000          & 4.555     & 1.287  & 0.114  & 5.990  & 8.139        & 0.10279      \\
69.49     & 0.107          & 4.565     & 1.297  & 0.110  & 6.020  & 8.156        & 0.05621      \\
75.26     & 0.107          & 4.593     & 1.306  & 0.098  & 6.124  & 8.196        & 0.00974      \\
79.85     & 0.107          & 4.614     & 1.417  & 0.101  & 6.097  & 8.082        & 0.00040      \\
86.31     & 0.107          & 4.627     & 1.455  & 0.099  & 6.110  & 8.081        & 0.00023      \\
90.26     & 0.107          & 4.634     & 1.476  & 0.098  & 6.119  & 8.088        & 0.00014      \\
97.99     & 0.132          & 4.650     & 1.526  & 0.097  & 6.131  & 8.097        & 0.00003      \\
102.96    & 0.150          & 4.661     & 1.567  & 0.096  & 6.135  & 8.101        & 0.00001      \\
107.16    & 0.164          & 4.671     & 1.606  & 0.096  & 6.137  & 8.104        & 0.00000      \\
112.58    & 0.184          & 4.686     & 1.662  & 0.096  & 6.140  & 8.106        & 0.00000      \\
117.72    & 0.205          & 4.703     & 1.722  & 0.095  & 6.148  & 8.109        & 0.00000      \\
125.42    & 0.244          & 4.737     & 1.837  & 0.092  & 6.170  & 8.111        & 0.00000      \\
131.32    & 0.288          & 4.781     & 1.982  & 0.089  & 6.201  & 8.096        & 0.00000      \\
135.62    & 0.332          & 4.836     & 2.107  & 0.080  & 6.295  & 8.064        & 0.00000      \\
136.83    & 0.347          & 4.858     & 2.137  & 0.075  & 6.354  & 8.049        & 0.00000      \\
137.36    & 0.353          & 4.869     & 2.145  & 0.072  & 6.389  & 8.041        & 0.00000      \\
138.75    & 0.371          & 4.900     & 2.141  & 0.062  & 6.515  & 8.017        & 0.00000      \\
139.18    & 0.376          & 4.909     & 2.127  & 0.059  & 6.565  & 8.009        & 0.00000      \\
140.84    & 0.392          & 4.928     & 1.907  & 0.042  & 6.864  & 7.973        & 0.00000      \\
\bottomrule[1.5pt]
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{table}

\begin{table}[h]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.9\linewidth}
\caption{氦核质量为0.462 $M_\odot$，氢壳层质量为0.001 $M_\odot$的热亚矮星演化参数。}\label{tab2}
\begin{tabular}{lcccccccc}  
\toprule[1.5pt]
年龄 & 碳氧核质量 & log $T_{\rm eff}$ & log $L$ & $R$     & log g & log cntrT & 中心氦丰度  \\
\midrule[1pt]
M yr & $M_\odot$ & K & $L_\odot$ & $R_\odot$     & cm $\rm s^{-2}$ & K & --   \\
\midrule[1pt]
1.04      & 0.000          & 4.492     & 1.117  & 0.125 & 5.909  & 8.065        & 0.93559           \\
3.29      & 0.000          & 4.493     & 1.125  & 0.126 & 5.902  & 8.066        & 0.90676            \\
6.43      & 0.000          & 4.492     & 1.133  & 0.127 & 5.894  & 8.068        & 0.86712           \\
9.81      & 0.000          & 4.492     & 1.142  & 0.129 & 5.885  & 8.070        & 0.82365            \\
12.92     & 0.000          & 4.492     & 1.149  & 0.130 & 5.877  & 8.072        & 0.78329            \\
16.00     & 0.000          & 4.492     & 1.157  & 0.131 & 5.869  & 8.074        & 0.74310             \\
19.82     & 0.000          & 4.492     & 1.167  & 0.132 & 5.859  & 8.076        & 0.69292             \\
23.62     & 0.000          & 4.492     & 1.177  & 0.134 & 5.849  & 8.079        & 0.64275            \\
27.39     & 0.000          & 4.492     & 1.187  & 0.136 & 5.839  & 8.082        & 0.59259             \\
31.14     & 0.000          & 4.492     & 1.197  & 0.137 & 5.830  & 8.085        & 0.54247            \\
35.61     & 0.000          & 4.493     & 1.209  & 0.139 & 5.819  & 8.089        & 0.48235           \\
39.32     & 0.000          & 4.493     & 1.219  & 0.140 & 5.811  & 8.093        & 0.43229           \\
43.18     & 0.000          & 4.494     & 1.230  & 0.141 & 5.803  & 8.098        & 0.38029             \\
47.49     & 0.000          & 4.495     & 1.242  & 0.142 & 5.796  & 8.103        & 0.32234            \\
51.72     & 0.000          & 4.497     & 1.254  & 0.143 & 5.791  & 8.110        & 0.26600            \\
57.81     & 0.000          & 4.501     & 1.271  & 0.143 & 5.791  & 8.121        & 0.18669             \\
64.33     & 0.000          & 4.509     & 1.288  & 0.141 & 5.806  & 8.138        & 0.10753            \\
69.95     & 0.107          & 4.522     & 1.301  & 0.134 & 5.847  & 8.160        & 0.04881            \\
73.84     & 0.107          & 4.541     & 1.307  & 0.124 & 5.913  & 8.185        & 0.01683            \\
77.14     & 0.107          & 4.562     & 1.317  & 0.114 & 5.989  & 8.181        & 0.00100            \\
81.16     & 0.107          & 4.571     & 1.431  & 0.125 & 5.909  & 8.075        & 0.00034            \\
87.40     & 0.107          & 4.582     & 1.464  & 0.123 & 5.922  & 8.084        & 0.00019            \\
94.02     & 0.121          & 4.594     & 1.503  & 0.122 & 5.932  & 8.094        & 0.00007          \\
103.02    & 0.151          & 4.613     & 1.573  & 0.121 & 5.936  & 8.101        & 0.00001           \\
108.25    & 0.169          & 4.625     & 1.623  & 0.122 & 5.934  & 8.105        & 0.00000           \\
113.35    & 0.188          & 4.638     & 1.678  & 0.122 & 5.933  & 8.107        & 0.00000             \\
119.55    & 0.215          & 4.658     & 1.754  & 0.121 & 5.936  & 8.111        & 0.00000            \\
124.85    & 0.244          & 4.681     & 1.838  & 0.120 & 5.945  & 8.111        & 0.00000             \\
128.28    & 0.268          & 4.702     & 1.916  & 0.119 & 5.949  & 8.106        & 0.00000             \\
131.79    & 0.298          & 4.731     & 2.014  & 0.117 & 5.969  & 8.091        & 0.00000            \\
134.34    & 0.324          & 4.762     & 2.090  & 0.111 & 6.016  & 8.072        & 0.00000           \\
137.26    & 0.360          & 4.818     & 2.159  & 0.092 & 6.172  & 8.034        & 0.00000            \\
139.51    & 0.388          & 4.880     & 2.080  & 0.064 & 6.498  & 7.984        & 0.00000     \\
\bottomrule[1.5pt]
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{table}

\begin{table}[h]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.9\linewidth}
\caption{氦核质量为0.462 $M_\odot$，氢壳层质量为0.003 $M_\odot$的热亚矮星演化参数。}\label{tab2}
\begin{tabular}{lcccccccc}  
\toprule[1.5pt]
年龄 & 碳氧核质量 & log $T_{\rm eff}$ & log $L$ & $R$     & log g & log cntrT & 中心氦丰度  \\
\midrule[1pt]
M yr & $M_\odot$ & K & $L_\odot$ & $R_\odot$     & cm $\rm s^{-2}$ & K & --   \\
\midrule[1pt]
1.10      & 0.000          & 4.401     & 1.127  & 0.193  & 5.536  & 8.065        & 0.93439      \\
2.24      & 0.000          & 4.401     & 1.130  & 0.194  & 5.532  & 8.066        & 0.91971      \\
5.06      & 0.000          & 4.400     & 1.137  & 0.196  & 5.522  & 8.068        & 0.88344      \\
8.92      & 0.000          & 4.399     & 1.147  & 0.199  & 5.509  & 8.070        & 0.83306      \\
12.04     & 0.000          & 4.398     & 1.155  & 0.201  & 5.498  & 8.072        & 0.79203      \\
15.08     & 0.000          & 4.397     & 1.163  & 0.204  & 5.487  & 8.074        & 0.75178      \\
18.10     & 0.000          & 4.397     & 1.171  & 0.206  & 5.477  & 8.076        & 0.71163      \\
24.08     & 0.000          & 4.395     & 1.186  & 0.211  & 5.456  & 8.080        & 0.63136      \\
27.05     & 0.000          & 4.395     & 1.194  & 0.214  & 5.445  & 8.082        & 0.59124      \\
30.00     & 0.000          & 4.394     & 1.202  & 0.216  & 5.435  & 8.085        & 0.55114      \\
33.68     & 0.000          & 4.394     & 1.212  & 0.219  & 5.423  & 8.088        & 0.50104      \\
37.34     & 0.000          & 4.393     & 1.222  & 0.222  & 5.411  & 8.092        & 0.45097      \\
40.99     & 0.000          & 4.393     & 1.232  & 0.225  & 5.400  & 8.096        & 0.40094      \\
45.33     & 0.000          & 4.393     & 1.245  & 0.228  & 5.389  & 8.101        & 0.34166      \\
49.06     & 0.000          & 4.394     & 1.255  & 0.230  & 5.380  & 8.107        & 0.29092      \\
54.25     & 0.000          & 4.396     & 1.270  & 0.232  & 5.374  & 8.116        & 0.22144      \\
58.78     & 0.000          & 4.399     & 1.282  & 0.232  & 5.375  & 8.126        & 0.16294      \\
63.44     & 0.000          & 4.405     & 1.295  & 0.229  & 5.387  & 8.138        & 0.10641      \\
67.30     & 0.107          & 4.414     & 1.304  & 0.222  & 5.412  & 8.153        & 0.06434      \\
71.43     & 0.107          & 4.431     & 1.312  & 0.208  & 5.471  & 8.175        & 0.02657      \\
75.45     & 0.107          & 4.467     & 1.316  & 0.176  & 5.613  & 8.215        & 0.00196      \\
80.03     & 0.107          & 4.461     & 1.438  & 0.209  & 5.465  & 8.076        & 0.00035      \\
86.40     & 0.107          & 4.471     & 1.473  & 0.207  & 5.472  & 8.085        & 0.00019      \\
93.13     & 0.123          & 4.481     & 1.513  & 0.207  & 5.472  & 8.095        & 0.00007      \\
98.38     & 0.141          & 4.489     & 1.552  & 0.210  & 5.463  & 8.100        & 0.00002      \\
103.18    & 0.157          & 4.496     & 1.595  & 0.213  & 5.449  & 8.103        & 0.00000      \\
108.25    & 0.175          & 4.504     & 1.647  & 0.218  & 5.430  & 8.106        & 0.00000      \\
115.33    & 0.204          & 4.518     & 1.729  & 0.225  & 5.402  & 8.110        & 0.00000      \\
124.64    & 0.256          & 4.544     & 1.882  & 0.238  & 5.354  & 8.111        & 0.00000      \\
128.63    & 0.287          & 4.561     & 1.987  & 0.248  & 5.317  & 8.100        & 0.00000      \\
132.90    & 0.331          & 4.597     & 2.117  & 0.243  & 5.333  & 8.069        & 0.00000      \\
135.54    & 0.365          & 4.653     & 2.191  & 0.205  & 5.483  & 8.032        & 0.00000      \\
137.61    & 0.392          & 4.783     & 2.250  & 0.121  & 5.943  & 7.981        & 0.00000      \\
138.17    & 0.396          & 4.890     & 2.178  & 0.068  & 6.444  & 7.976        & 0.00000     \\
\bottomrule[1.5pt]
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{table}

\begin{table}[h]
\centering
\begin{minipage}[t]{0.9\linewidth}
\caption{氦核质量为0.462 $M_\odot$，氢壳层质量为0.006 $M_\odot$的热亚矮星演化参数。}\label{tab2}
\begin{tabular}{lcccccccc}  
\toprule[1.5pt]
年龄 & 碳氧核质量 & log $T_{\rm eff}$ & log $L$ & $R$     & log g & log cntrT & 中心氦丰度  \\
\midrule[1pt]
M yr & $M_\odot$ & K & $L_\odot$ & $R_\odot$     & cm $\rm s^{-2}$ & K & --   \\
\midrule[1pt]
1.55      & 0.000          & 4.359     & 1.137  & 0.236  & 5.363  & 8.066        & 0.92801      \\
4.73      & 0.000          & 4.358     & 1.144  & 0.239  & 5.350  & 8.068        & 0.88654      \\
9.17      & 0.000          & 4.356     & 1.155  & 0.244  & 5.333  & 8.071        & 0.82766      \\
13.72     & 0.000          & 4.354     & 1.167  & 0.250  & 5.314  & 8.073        & 0.76695      \\
17.43     & 0.000          & 4.353     & 1.177  & 0.254  & 5.299  & 8.076        & 0.71675      \\
21.13     & 0.000          & 4.352     & 1.186  & 0.258  & 5.284  & 8.079        & 0.66657      \\
24.79     & 0.000          & 4.350     & 1.196  & 0.263  & 5.269  & 8.081        & 0.61642      \\
28.44     & 0.000          & 4.349     & 1.206  & 0.267  & 5.254  & 8.084        & 0.56628      \\
32.06     & 0.000          & 4.348     & 1.216  & 0.272  & 5.239  & 8.088        & 0.51617      \\
35.68     & 0.000          & 4.347     & 1.226  & 0.276  & 5.225  & 8.091        & 0.46610      \\
39.28     & 0.000          & 4.346     & 1.236  & 0.281  & 5.212  & 8.095        & 0.41606      \\
43.49     & 0.000          & 4.346     & 1.248  & 0.285  & 5.198  & 8.100        & 0.35770      \\
47.23     & 0.000          & 4.346     & 1.258  & 0.289  & 5.187  & 8.106        & 0.30601      \\
51.55     & 0.000          & 4.346     & 1.271  & 0.292  & 5.178  & 8.113        & 0.24700      \\
55.45     & 0.000          & 4.348     & 1.282  & 0.293  & 5.174  & 8.120        & 0.19474      \\
59.86     & 0.000          & 4.352     & 1.294  & 0.292  & 5.177  & 8.131        & 0.13826      \\
63.51     & 0.107          & 4.358     & 1.304  & 0.288  & 5.191  & 8.142        & 0.09476      \\
66.58     & 0.107          & 4.365     & 1.311  & 0.280  & 5.214  & 8.154        & 0.06158      \\
69.20     & 0.107          & 4.376     & 1.316  & 0.269  & 5.249  & 8.168        & 0.03665      \\
73.32     & 0.107          & 4.408     & 1.323  & 0.233  & 5.372  & 8.204        & 0.00613      \\
76.39     & 0.107          & 4.405     & 1.420  & 0.265  & 5.262  & 8.094        & 0.00043      \\
80.69     & 0.107          & 4.409     & 1.455  & 0.270  & 5.246  & 8.078        & 0.00030      \\
85.04     & 0.107          & 4.415     & 1.479  & 0.270  & 5.246  & 8.085        & 0.00019      \\
91.56     & 0.121          & 4.423     & 1.518  & 0.272  & 5.239  & 8.095        & 0.00007      \\
96.76     & 0.140          & 4.429     & 1.557  & 0.277  & 5.222  & 8.100        & 0.00002      \\
102.80    & 0.161          & 4.435     & 1.613  & 0.288  & 5.191  & 8.104        & 0.00000      \\
107.47    & 0.179          & 4.440     & 1.662  & 0.298  & 5.160  & 8.107        & 0.00000      \\
113.52    & 0.204          & 4.447     & 1.733  & 0.313  & 5.117  & 8.111        & 0.00000      \\
120.90    & 0.243          & 4.458     & 1.846  & 0.338  & 5.050  & 8.114        & 0.00000      \\
126.69    & 0.286          & 4.468     & 1.992  & 0.383  & 4.942  & 8.102        & 0.00000      \\
130.24    & 0.322          & 4.484     & 2.111  & 0.406  & 4.890  & 8.078        & 0.00000      \\
134.56    & 0.382          & 4.626     & 2.403  & 0.296  & 5.165  & 8.009        & 0.00000      \\
135.09    & 0.389          & 4.691     & 2.401  & 0.219  & 5.426  & 7.995        & 0.00000      \\
136.08    & 0.400          & 4.855     & 2.468  & 0.112  & 6.014  & 7.973        & 0.00000      \\
136.44    & 0.401          & 4.977     & 2.489  & 0.065  & 6.480  & 7.973        & 0.00000      \\
\bottomrule[1.5pt]
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{table}

