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\chapter{热亚矮星质量的计算和分析}
\label{cha:chapter03}

目前虽然有很多的热亚矮星被发现，并且接近一半的热亚矮星都具有大气参数，但只有很少一部分给出了准确的质量，还不能准确的判断热亚矮星的质量分布是否和理论预测相符合。不同类型的热亚矮星可能来自于不同的形成渠道，利用不同形成渠道的热亚矮星具有不同质量分布的特征便可以对它们的可能形成渠道做出进一步判断，这也是本章节我们计算热亚矮星质量的重要目的之一。Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}利用22颗热亚矮星的质量给出了它们的质量分布，但是通过和Han et al.(2003)\cite{Han2003}理论预测的热亚矮星质量分布做对比发现他们得出的质量分布在大质量端缺少大质量星。如前文分析的那样，他们的质量分布可能具有偶然性和人为的选择效应，所以应该利用一个包含更多数量的热亚矮星样本去和理论预测作对比，验证理论是否出现了偏差。热亚矮星准确的质量计算是一个较为困难的工作，目前仍然缺少具有准确质量参数的热亚矮星样本。因此本章节我们计算了Lei et al.(2018, 2019, 2020)\cite{Lei2018,Lei2019,Lei2020}所证认的热亚矮星的质量，来弥补目前在这方面研究的贫乏，并研究了不同光谱类型热亚矮星的质量分布情况，讨论了它们各自的可能形成渠道。

\section{热亚矮星的质量计算介绍}

从第三章的分析来看，利用恒星的光谱能量分布方法最适合于计算大量热亚矮星样本的质量，而且通过这种方法所得的质量准确性也比较高，因此我们利用了恒星的光谱能量分布的方法计算了Lei et al.(2018, 2019, 2020)\cite{Lei2018,Lei2019,Lei2020}所证认的热亚矮星的质量。Gaia DR2提供了很多有价值的恒星参数信息，如星等、视差、颜色等\cite{Gaia2018}，Lei et al.(2018, 2019, 2020)\cite{Lei2018,Lei2019,Lei2020}利用Gaia DR2所发布的恒星信息结合LAMOST光谱一共证认了864颗单线热亚矮星，所有这些热亚矮星都具有良好的光谱，它们在u波段的性噪比都大于10。Lei et al. (2018, 2019, 2020)\cite{Lei2018,Lei2019,Lei2020}利用TLUSTY\cite{Hubeny2017}非局部热力学平衡大气模型通过SYNSPEC\cite{Lanz2006}计算出了热亚矮星的理论合成光谱，然后通过把观测到光谱的H和He线轮廓和理论合成光谱进行拟合，从而得到可信赖的大气参数($T_{\rm {eff}}$, log g 和 log(nHe/nH))。基于所获得的热亚矮星的大气参数，每个样本的合成光谱流量分布可以被计算出来。Gaia EDR3\cite{Gaia2020}提供了准确的视差等信息，基于视差，我们可以计算离我们不太远且较为明亮天体的距离，但是遥远且暗淡天体的距离无法直接利用视差得到。为了尽可能多地为Gaia EDR3中的恒星提供可靠的距离，Bailer et al.(2021)\cite{Bailer2021}利用先前从银河系构造的的三维模型并基于盖亚视差和光度来测定恒星距离，这种方法为我们计算所选择热亚矮星样本的距离提供了极大的便利。我们通过把Lei et al.(2018, 2019, 2020)\cite{Lei2018,Lei2019,Lei2020}所获得的864颗单光谱热亚矮星和Bailer et al.(2021)\cite{Bailer2021}得到的Gaia EDR3距离星表进行了交叉，从中得到了856颗具有距离参数的热亚矮星。

为了得到我们样本中热亚矮星的流量分布，我们使用西班牙虚拟天文台(SVO)中的VO Sed Analyzer1(VOSA)\cite{Bayo2008}搜索我们所选样本的光度数据，并将观测到的星等转换为流量。VOSA是一个开源的工具，旨在帮助用户从虚拟天文台(VO)中搜索望远镜所观测到的测光数据并构建光谱能量分布。由于星际尘埃的存在，会使观测到的视星等变暗，因此将视星等转换为流量时必须考虑星际消光带来的影响，我们通过银河系星际红化图来获得热亚矮星在可见光波段的星际消光值\cite{Schlegel1998,Schlafly2011}。当所有热亚矮星的消光值，视星等和坐标信息被上传到VOSA中后，便可以得到每个样本来自于不同滤波片的光度流量转换。为了将观测到的光度流量和和合成的光谱能量分布经行对比，需要将合成的光谱能量分布与特定滤光片的传输曲线进行卷积。SVO中的滤光片配置文件服务\cite{Rodrigo2020}为我们的转换提供了很大的帮助，它提供了2300多个天文滤光片的信息，其中包括不同系统中的传输曲线和零点。我们获得了滤光片配置文件所提供的天文滤光片所有的传输曲线和零点信息，然后将合成的光谱能量分布与滤光片传输曲线进行卷积，并将它们与从VOSA中获得的观测光度流量进行了比较，通过以上过程我们得到了热亚矮星的稀释因子$M_{\rm d} = \frac{F(\lambda)}{f(\lambda)}$和角直径$\theta$。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=15cm,height=9.5cm]{figures/F.jpg}
\caption{合成光谱的能量分布和观测到的光度流量分布对比图。黑色的实线代表的是合成光谱的能量分布，洋红色代表从VOSA中得到的来自不同滤光片观测到的流量。}\label{fig3.1}
\end{figure}
图\ref{fig3.1}给出了一个合成光谱能量分布乘以稀释因子$M_{\rm d}$后与热亚矮星样本观测到的流量之间的比较。观测到的流量数据来自于100个安装在不同光度系统的通频带滤光片，如银河系演化探测器(GALEX)\cite{Martin2005}、盖亚探测任务(Gaia)\cite{Gaia2016}、全天空两微米探测(2MASS)\cite{Skrutskie2006}、宽视场红外探测探测器(WISE)\cite{WISE2010}等。如图\ref{fig3.1}所示，观测到的大多数流量和合成光谱能量分布都符合的很好。根据已知的恒星半径和表面有效温度，我们可以利用公式\ref{2-3}通过和太阳标准模型进行对比的方法计算恒星的光度
\begin{align}
      \frac{L}{L_\odot} = (\frac{R}{R_\odot})^{2}(\frac{T_{\rm eff}}{T_\odot})^{4}\,
      \label{3-1}
   \end{align} 
其中$R_\odot$和$L_\odot$是太阳的半径以及光度，我们取$R_\odot = 6.959 \times 10^{8}$ m、$L_\odot = 3.845\times 10^{33}$ erg/s。

在已知半径和重力加速度的情况下，便可以通过公式\ref{2-5}计算热亚矮星的质量，这里我们通过蒙特卡洛模拟的方法结合公式\ref{2-5}估测热亚矮星的质量和误差。基于质量估计中涉及参数(如距离、重力加速度)的取值和不确定性，每个参数都由高斯分布产生大量的值，根据这些值便可以计算出它们所对应的质量，之后对质量分布进行高斯拟合，我们采用基于高斯拟合的平均值作为最终质量值，而标准差$\sigma$为质量的误差。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=15cm,height=11.5cm]{figures/Fig.13.jpg}
\caption{所选择的热亚矮星样本质量的高斯拟合计算值。}\label{fig3.2}
\end{figure}
图\ref{fig3.2}给出了其中一个热亚矮星样本质量的高斯拟合示例，每个参数通过高斯分布生成大概500个值，它们的质量分布如图中蓝色的柱状图所示，红色的虚线代表最好的高斯拟合。最终，我们得到这颗热亚矮星的质量为0.46 $M_\odot$，误差为0.07 $M_\odot$。

\section{热亚矮星的质量计算结果}

基于Lei et al.(2018, 2019, 2020)\cite{Lei2018,Lei2019,Lei2020}中的864个热亚矮星样本，我们通过把热亚矮星的理论光谱能量分布和观测流量进行对比计算得到了844颗热亚矮星的质量。其中所得到一少部分热亚矮星的质量大于1.0 $M_\odot$，它们不太可能是热亚矮星真正的质量，过大的质量可能是由于它们被测量出的距离和重力加速度并不准确，导致这部分热亚矮星所计算出的质量并不可靠。另一方面，一些热亚矮星也得到了非常小的质量(如小于0.1 $M_\odot$)，这其中很多低质量热亚矮星的视差误差都比较大，特别是质量小于0.1 $M_\odot$的热亚矮星，极低质量热亚矮星的质量值可能是由于不准确的距离估计所导致的。极低质量的白矮星也会穿过热亚矮星所在的区域，这些小质量白矮星的光谱特征很难和热亚矮星区分开，它们可能会被错误的分类为热亚矮星并出现在了Lei et al.(2018, 2019, 2020)\cite{Lei2018,Lei2019,Lei2020}的样本中，这些小质量的白矮星可能贡献了一部分小质量的热亚矮星。Han et al.(1999)\cite{Han1999}通过低质量白矮星可能演化渠道的模拟发现白矮星的质量很难低于0.1 $M_\odot$，这些经由双星间相互作用形成的小质量白矮星的质量大部分位于0.15 -- 0.30 $M_\odot$之间。综合来看所计算出热亚矮星的质量大于1.0 $M_\odot$和小于0.1 $M_\odot$的这两部分值可能并不合理，因此我们并没有采用这两部分热亚矮星的质量。最终我们得到了723颗热亚矮星的质量，它们在0.1 -- 1.0 $M_\odot$之间有一个广泛分布，这些热亚矮星的质量分布将在接下来的章节中进行详细的分析和讨论。表4.3给出了本研究中选取的723个样本的质量、温度、半径、光度、坐标等参数信息。

\section{与其它研究工作的对比}

为了检验我们所计算的热亚矮星质量的可靠性，我们将本研究工作中的热亚矮星样本与Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}和Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}中的热亚矮星进行了交叉匹配，从中得到了18和6个共同的源。在图\ref{fig3.3}中，我们将本研究中得到的热亚矮星质量与Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}(左图)和Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}(右图)中同源的质量进行了比较。虽然在两个子图中质量的分布都出现了一些弥散，但在考虑质量误差的情况下，本研究得到的质量与他们两者的研究相一致。我们计算得到的质量的误差主要来自重力加速度和距离的不确定性，考虑到我们有723颗热亚矮星，在通过光谱拟合确定热亚矮星的重力加速度时也不太可能出现系统性偏差，大部分热亚矮星的大气参数都是比较可靠的(参见Lei et al.(2018, 2019, 2020)\cite{Lei2018,Lei2019,Lei2020})，这对我们分析众多数量热亚矮星的质量分布影响不大。在图\ref{fig3.4}中，我们还将得到的热亚矮星半径和光度与Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}中同源的值进行了比较。如图\ref{fig3.4}所示，两项研究的半径和光度值都比较一致。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=15cm,height=7cm]{figures/Fig.14.jpg}
\caption{左图：本研究工作得到的热亚矮星质量和Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}中同源样本的对比。右图：本研究工作得到的热亚矮星质量和Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}中同源样本的质量对比。}\label{fig3.3}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=15cm,height=7cm]{figures/Fig.15.jpg}
\caption{本研究工作得到的热亚矮星的半径和光度和Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}中同源样本的对比。}\label{fig3.4}
\end{figure}


\section{热亚矮星质量和光度与大气参数的关系}

为了探究不同大气参数下热亚矮星的质量分布情况以及它们之间是否会出现相关性，我们对比了不同大气参数下热亚矮星的质量分布。图\ref{fig3.5}中的四个子图显示了我们所选择热亚矮星样本的质量与大气参数($T_{\rm eff}$、$\log$、log(nHe/nH)、半径)之间的关系。可以看出在质量 -- 温度图(左上)、质量 -- 重力加速度图(右上)、质量 -- 氦丰度图(左下)、质量 -- 半径图(右下)中，热亚矮星的质量和大气参数之间并不存在明显的相关性。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=15cm,height=12cm]{figures/G.jpg}
\caption{热亚矮星样本的质量 -- 大气参数图。从左上到右下依次为质量 -- 温度图、质量 -- 重力加速度图、质量 -- 氦丰度图、质量 -- 半径图。黑色的三角形代表sdOB、绿色的正方形代表sdO、黑色的圆形代表sdB、红色的菱形代表He-sdOB、青色的三角形代表He-sdO、洋红色的五角星代表He-sdB。}\label{fig3.5}
\end{figure}

为了探究不同类型热亚矮星的光度分布，以及热亚矮星的光度分布和温度之间的关系，
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=15cm,height=11cm]{figures/Fig.17.jpg}
\caption{不同类型热亚矮星样本的温度 -- 光度图。}\label{fig3.6}
\end{figure}
如图\ref{fig3.6}所示，我们画出来了不同类型热亚矮星的温度 -- 光度图。大部分sdB和sdOB型热亚矮星都处在10 -- 50 $L_\odot$的狭窄光度范围内。如图2.7所示，处在主序氦燃烧阶段的热亚矮星的光度也在这个范围内，这很好的证明了大部分sdB和sdOB型热亚矮星可能处在氦核燃烧阶段。绝大部分sdO型热亚矮星的光度都大于50 $L_\odot$，在50 -- 250 $L_\odot$内表现出比较广泛的分布，最大的sdO型热亚矮星的光度超过了250 $L_\odot$。一般认为sdO型热亚矮星可能已经结束了中心的氦核燃烧从而进入了氦壳层燃烧阶段，因此它们具有很高的光度。如图2.7所示，当热亚矮星结束中心的氦核燃烧以后，它们进入一个快速的温度和光度上升过程，从sdO型热亚矮星的光度分布来看，它可能来源于sdB型热亚矮星的后期演化。富氦类型热亚矮星(He-sdB、He-sdOB、He-sdO)的光度分布表现出了和sdO型热亚矮星一样的弥散，这使我们联想到富氦型热亚矮星是否和sdO型热亚矮星一样可能处在氦壳层燃烧阶段。目前的主流观点认为富氦热亚矮星可能起源于延迟氦闪或者双氦白矮星并合渠道，这两种渠道都可以解释富氦热亚矮星的氦超丰现象，同时也可以为观测到的部分富氦热亚矮星的碳元素和氮元素异常增丰提供一个合理解释。但是这两种可能的富氦热亚矮星形成渠道预测的大气参数在和观测到的富氦热亚矮星进行对比时都出现了一些问题。Heber et al.(2008)\cite{Heber2008}把延迟氦闪和双氦白矮星并合渠道预测的富氦热亚矮星的演化轨迹和观测上的He -- sdO型热亚矮星在$T_{\rm eff}$ -- $\log g$图上的分布进行了对比，他对这两种富氦热亚矮星的可能形成渠道提出了一些质疑。Heber et al.(2008)\cite{Heber2008}认为通过延迟氦闪和双氦白矮星并合渠道形成的富氦热亚矮星应该集中停留在演化时间更长的氦主序燃烧阶段，即通过这两种渠道形成的富氦热亚矮星大部分应该分布在靠近氦主序的地方，但他们并没有发现这种分布特点。同时如Zhang et al.(2012)\cite{Zhang2012}的图4和Miller et al.(2008)\cite{Miller2008}的图5所示，大部分富氦热亚矮星都出现在了远离氦主序的地方，富氦热亚矮星在$T_{\rm eff}$ -- $\log g$图上的分布并不能很好的符合他们预测的延迟氦闪和双氦白矮星并合的演化轨迹。Jeffery et al.(2014)\cite{Jeffery2014}在研究双富氦热亚矮星双星系统PG 1544+488时，也对通过延迟氦闪渠道形成双富氦热亚矮星双星系统提出了质疑。如Jeffery et al.(2014)\cite{Jeffery2014}文章中的图6所示，他们发现PG 1544+488中的两颗富氦热亚矮星都出现在了远离氦主序的地方，这显然偏离了延迟氦闪渠道的预测。Jeffery et al.(2014)\cite{Jeffery2014}认为PG 1544+488可能是由一个燃烧的氦壳层包裹着一个简并的氦核或者碳氧核，因此PG 1544+488出现在了远离氦主序的位置。通过富氦型热亚矮星和sdO型热亚矮星的光度对比，我们也不排除富氦热亚矮星可能正处在氦壳层燃烧阶段，一些更直接的观测证据如通过星震学的方法研究富氦热亚矮星的结构，看看它是否存在一个燃烧的氦核，可以帮助我们更好的理解它所表现出来的光度特征以及可能的形成渠道。

\section{热亚矮星的质量分布}

我们所计算的热亚矮星的质量在0.1 -- 1.0 $M_\odot$之间有一个广泛的分布，本小节探究了不同类型热亚矮星的质量分布情况，并把它们的质量分布和理论预测不同类型的热亚矮星质量分布进行了对比分析，同时结合不同类型热亚矮星的双星属性等信息，我们对不同类型热亚矮星的可能形成渠道提出了一些限制。

\subsection{总样本的质量分布}
我们将所选取的723个不同类型的热亚矮星质量分布画在了图\ref{fig3.7}中。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=15cm,height=11cm]{figures/Fig.18.jpg}
\caption{723个不同类型热亚矮星样本的质量分布图。图中黑色的线代表了总样本的质量分布，洋红色的虚线代表了贫氦的sdB和sdOB型热亚矮星的质量分布，蓝色的虚线代表富氦热亚矮星的质量分布(He-sdB、He-sdO、He-sdOB)，绿色的点线代表贫氦sdO型热亚矮星的质量分布}\label{fig3.7}
\end{figure}
总的热亚矮星样本的质量分布峰值和平均值都在0.46 $M_\odot$附近，由于贫氦的sdB和sdOB型热亚矮星在我们的样本中占据了大部分的数量，贫氦的sdB和sdOB型热亚矮星的质量分布显示出与总样本非常相似的质量分布，它们在0.46 $M_\odot$附近也有一个明显的质量峰值，但平均质量约为0.48 $M_\odot$，略微大于总样本的平均质量。和贫氦的sdB和sdOB型热亚矮星的质量分布相对比，富氦热亚矮星和sdO型热亚矮星的质量分布更均匀，并且有更多比例的小质量热亚矮星。富氦热亚矮星在0.4 $M_\odot$附近有一个小的质量峰值，平均质量约为0.45 $M_\odot$，而sdO型热亚矮星的质量分布最为平坦，没有一个明显的峰值，有更多比例的sdO型热亚矮星出现在了小质量端。SdO型热亚矮星的平均质量为0.33 $M_\odot$，也要远远低于其它类型的热亚矮星。在考虑质量计算过程中误差所带来的影响后，如果认为质量大于0.6 $M_\odot$的热亚矮星为大质量热亚矮星，如表格\ref{tab2}所示，贫氦的sdB和sdOB型热亚矮星以及富氦热亚矮星的大质量星比例都大概在20\%，而sdO型热亚矮星的大质量星比例只有10\%。
\begin{table}[h]
\centering
  \begin{minipage}[t]{1\linewidth}
\caption{本研究工作中所计算的热亚矮星的质量分布统计}\label{tab2}
\begin{tabular}{lccccc} 
\toprule[1.5pt]
类型	&	总数量 & 质量峰值/$M_\odot$	&	平均质量/$M_\odot$ &  大质量星的数量 &  大质量星占比\\
\midrule[1pt]
总样本 &	723	&	0.46	&   0.46	 &	144   & 20\%\\
贫氦sdB/sdOB &	525	&	0.46	    &	0.48      &  112 & 21\% \\
富氦热亚矮星 & 122	&	0.40	&	0.45  & 24 & 20\%\\
贫氦sdo & 76	&	无明显峰值	&	0.33  & 8 & 10\%\\
\bottomrule[1.5pt]
\hline
\end{tabular}
 \end{minipage}
\end{table}
Han et al.(2002)\cite{Han2002}认为热亚矮星最小的氦核燃烧质量大概为0.30 $M_\odot$，这意味着我们样本中一些质量低于0.30 $M_\odot$的可能是未点燃氦核的小质量氦白矮星。获取高温的sdO型热亚矮星的准确大气参数相对于低温的热亚矮星更加困难，也可能是由于这部分sdO型热亚矮星的大气参数并不准确，因此出现了更多的小质量星。

\subsection{贫氦sdB型热亚矮星的质量分布}

Han et al.(2003)\cite{Han2003}通过大样本演化模拟了sdB型热亚矮星的形成，他们模拟的演化结果可以很好的和观测到的热亚矮星的轨道周期、双星比例等特征相吻合，他们从理论上对热亚矮星的质量分布做出了一些限制。如3.2节所述，Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}利用光谱能量分布的方法计算得到了68颗密近双星系统中热亚矮星的质量，大多数热亚矮星的质量分布都符合Han et al.(2003)\cite{Han2003}的理论预测。在图\ref{fig3.8}中，我们将所得的贫氦sdB型热亚矮星的质量分布与上述两项研究进行了比较。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=15cm,height=11cm]{figures/Fig.19.jpg}
\caption{贫氦的sdB型热亚矮星的质量分布和其它研究工作的对比图。黑色的实线代表我们计算得到的贫氦sdB型热亚矮星的质量分布，红色的点线是Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}的贫氦sdB型热亚矮星的质量分布，蓝色的虚线和绿色的点虚线代表Han et al.(2003)预测的具有GK选择效应和不具有GK选择效应的sdB型热亚矮星的质量分布。}\label{fig3.8}
\end{figure}
我们的贫氦sdB型热亚矮星质量分布的峰值在0.46 $M_\odot$附近，这与Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}得到的质量分布峰值很一致。在小质量端，我们的贫氦sdB型热亚矮星的质量分布趋势和Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}也很接近，且匹配良好。在大质量端，相对于Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}我们具有略多的大质量热亚矮星，如图\ref{fig2.4}所示，如果不考虑Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}中部分质量计算可能不准确的反射式双星系统热亚矮星，他们的热亚矮星的质量大多数都在0.50 $M_\odot$以下。相对于Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}而言，我们的贫氦sdB型热亚矮星具有更多的大质量星。Maxted\cite{Maxted2001}等人所观测到的热亚矮星双星系统不具有明亮的F/G型伴星，Han et al.(2003)\cite{Han2003}认为如果伴星的温度高于4000 K或者伴星比热亚矮星更亮，则观测上看不到该热亚矮星。为了和Maxted\cite{Maxted2001}等人的观测结果进行对比，Han et al.(2003)\cite{Han2003}应用了GK选择效应剔除掉具有比较明亮伴星的热亚矮星双星系统。从图\ref{fig3.8}中可以看出Han et al.(2003)\cite{Han2003}预测的sdB型热亚矮星质量分布峰值与Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}和本研究的结果符合的很好，我们与Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}的质量分布和Han et al.(2003)\cite{Han2003}中没有GK选择效应的质量分布在0.50 $M_\odot$以下也相一致。但是Han et al.(2003)\cite{Han2003}的sdB型热亚矮星质量分布在0.48 $M_\odot$附近急剧下降，这似乎表明，Han et al.(2003)\cite{Han2003}预测的大质量sdB型热亚矮星比本研究的数量少。由于严格的选择标准，我们没有将Han et al.(2003)\cite{Han2003}考虑GK选择效应的结果与本研究的结果直接进行比较，只是将其作为图\ref{fig3.8}的参考。

Fontaine et al.(2012)\cite{Charpinet2012}利用22颗热亚矮星的质量给出了它们的质量分布，在和Han et al.(2003)\cite{Han2003}的理论预测做对比时他们发现热亚矮星在大质量端缺少大质量星。但是通过我们的所计算的贫氦sdB型热亚矮星的质量分布来看，在大于0.50 $M_\odot$的大质量端并不缺少大质量热亚矮星，这些大质量热亚矮星有可能是通过双氦白矮星并合渠道所形成。如图\ref{fig3.8}所示，我们所得到的处在大质量端sdB型热亚矮星的数量要多于Han et al.(2003)\cite{Han2003}的预测，可能是由于质量的误差导致了我们的质量分布出现了拓宽的现象，因此看起来有更多数量的大质量贫氦sdB型热亚矮星。Han et al.(2003)\cite{Han2003}预测的sdB型热亚矮星的质量分布只考虑了双氦白矮星并合渠道对于大质量热亚矮星的贡献，而事实上除了双氦白矮星并合渠道，红巨星并合小质量主序星或者褐矮星\cite{Michael2008}，氦白矮星并合小质量主序星\cite{Zhang2017}都可以形成大质量的贫氦热亚矮星，这些形成渠道也可能贡献了一部分大质量的贫氦sdB型热亚矮星。


\subsection{密近双星中的热亚矮星和单星热亚矮星的质量分布对比}

Geier et al.(2022)\cite{Geier2022}研究了646颗具有LAMOST和SDSS多次测光的不同类型热亚矮星的视向速度，他们通过把观测光谱和具有一系列视向速度值的理论热亚矮星光谱进行交叉匹配来获取观测光谱的视向速度，并利用每颗星的最大视向速度减去最小的视向速度得出它们的最大视向速度变化值，然后把不同类型热亚矮星的最大视向速度变化值分布作为一种判断它们双星属性的判据。为了更加准确的了解和判断每颗热亚矮星是否处在双星系统中，Geier et al.(2022)\cite{Geier2022}计算了表征探测到热亚矮星出现显著视向速度变化的概率$\log p$，一般认为$\log p < -4$的热亚矮星是具有显著的视向速度变化，也把$\log p < -4$的热亚矮星看做密近双星系统。通过这种方法Geier et al.(2022)\cite{Geier2022}发现了164颗热亚矮星具有显著的视向速度变化，并发现不同类型的热亚矮星具有不同的双星比例，特别是富氦热亚矮星绝大部分都是单星。

造成不同类型热亚矮星出现不同双星比例的原因可能是它们来自于不同的形成渠道。为了得到我们所研究样本的双星属性，同时利用质量作为判断条件来探明造成不同类型热亚矮星出现不同双星比例的原因，我们将本研究中的723颗热亚矮星和Geier et al.(2022)\cite{Geier2022}的646颗热亚矮星进行了交叉，从中得到了236颗具有视向速度研究的热亚矮星样本。如表格\ref{tab3}所示，其中88颗样本具有显著的视向速度变化，这意味着37\%的热亚矮星可能处在密近的双星系统中。更详细来说，在这236颗热亚矮星样本中，40\%的贫氦sdB/sdOB型热亚矮星和42\%的贫氦sdO型热亚矮星处在密近双星系统中，它们的双星比例很接近。一些潜在的演化渠道可能将贫氦sdB/sdOB型热亚矮星和贫氦sdO型热亚矮星的演化路径联系在了一起，即贫氦的sdO型热亚矮星可能是贫氦的sdB/sdOB型热亚矮的后续演化，因此它们的双星比例很相似。我们的富氦热亚矮星(He-sdB、He-sdOB、He-sdO)显示出了和Geier et al.(2022)\cite{Geier2022}中的富氦热亚矮星一样的双星比例，只有5\%的富氦热亚矮星处在密近双星系统中，考虑到这些热亚矮星的光谱都是单线光谱，大多数富氦热亚矮星可能都是单星。

\begin{table}[h]
\centering
  \begin{minipage}[t]{0.85\linewidth}
\caption{本研究工作中处在密近双星系统中的热亚矮星的比例统计}\label{tab3}
\begin{tabular}{lccc} 
\toprule[1.5pt]
类型	&	总数量 & 密近双星系统的数量	& 密近双星系统的占比\\
\midrule[1pt]
总样本 &	236	 &	88   & 37\%\\
贫氦sdB/sdOB &	183  &  73 & 40\% \\
富氦热亚矮星 & 20 & 1 & 5\%\\
贫氦sdo & 33	&14 & 42\%\\
\bottomrule[1.5pt]
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{table}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=15cm,height=9.5cm]{figures/Fig.20.jpg}
\caption{热亚矮星的质量 -- 最大视向速度变化分布图。从左上到右下依次为所有具有视向速度研究的样本、贫氦sdB/sdOB型热亚矮星、富氦热亚矮星、贫氦sdO型热亚矮星的质量 -- 最大视向速度变化分布图，不同颜色的圆代表不同大小的$\log p$。}\label{fig3.9}
\end{figure}
图\ref{fig3.9}显示了我们所交叉出的236颗不同类型热亚矮星的质量和最大视向速度变化分布，同时我们采用$\log p$衡量热亚矮星是否存在明显的视向速度变化，$\log p < -4$的热亚矮星样本被认为是处在密近双星系统中。如右上角的贫氦sdB/sdOB型热亚矮星的质量 -- 最大视向速度变化分布图所示，大部分处在密近双星系统中的贫氦sdB/sdOB型热亚矮星的质量都在0.50 $M_\odot$以下，并集中分布在0.40 -- 0.50 $M_\odot$。如果不考虑Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}的反射式双星系统中热亚矮星的质量分布，我们所得出的处在密近双星系统中的贫氦sdB/sdOB型热亚矮星质量分布和他们得出的sdB型热亚矮星质量分布很相似。处在密近双星系统中的热亚矮星主要是通过公共包层抛射渠道形成的，稳定的洛希瓣物质转移渠道也贡献了少部分密近热亚矮星双星系统。如图2.3所示，中等质量恒星在主序或者穿越赫氏空隙时和伴星相互作用也可以形成短周期的热亚矮星双星系统，不过通过这种方式形成的短周期热亚矮星双星系统的诞生率比较低。如图3.1所示，通过公共包层抛射和稳定的洛希瓣物质转移这两种渠道形成的热亚矮星的质量大部分都在0.50 $M_\odot$以下，这和我们以及Schaffenroth et al.(2022)\cite{Schaffenroth2022}所得到的热亚矮星的质量分布符合的很好。Han et al.(2003)\cite{Han2003}预测的双星系统中大质量热亚矮星的数量和诞生率都很低，事实上我们确实发现了处在密近双星系统中的大质量热亚矮星数量很少，它们可能是较大质量的恒星在主序或者穿越赫氏空隙时和伴星相互作用形成的。而未显示明显视向速度变化的贫氦sdB/sdOB型单星热亚矮星在大于0.50 $M_\odot$部分却有较多数量分布，双星并合渠道(双氦白矮星并合、小质量白矮星并合主序星等)可能生成了这些大质量的单星热亚矮星，它们相对于处在密近双星系统中的热亚矮星更倾向于具有较大的质量。

在图\ref{fig3.9}左下面的子图中，处在双星系统中的富氦热亚很稀少，Geier et al.(2022)\cite{Geier2022}认为这很可能是由于富氦热亚矮星是通过双氦白矮星并合的方式形成，因此它们大多数可能是单星热亚矮星。但是我们可以看到大多数富氦热亚矮星的质量分布却并没有出现在大质量端，而是聚集在了0.40 $M_\odot$附近，这便和双氦白矮星并合渠道所预测的质量分布产生了矛盾。Zhang et al.(2017)\cite{Zhang2017}认为氦白矮星并合小质量主序星可以生成中等富氦热亚矮星，大部分通过这种渠道生成的热亚矮星的质量都在0.48 -- 0.50 $M_\odot$之间，有一小部分中等富氦热亚矮星的质量可以达到0.52 $M_\odot$。但通过氦白矮星并合小质量主序星渠道形成热亚矮星的质量分布峰值仍然要大于我们所得到的富氦热亚矮星的质量峰值。

\subsection{富氦热亚矮星的质量分布}

为了弄清楚富氦热亚矮星的质量分布问题，我们将所计算得到的富氦热亚矮星质量分布以及Han et al.(2003)\cite{Han2003}预测的通过双氦白矮星并合渠道形成的热亚矮星质量分布画在了图\ref{fig3.10}中，并将两者的质量分布进行了对比。
\begin{figure}[h]
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\includegraphics[width=15cm,height=11cm]{figures/Fig.21.jpg}
\caption{富氦热亚矮星的质量分布和理论预测的双氦白矮星并合渠道的质量分布对比图。蓝色的虚线是本研究工作中富氦热亚矮星的质量分布，黑色的点线是Han et al.(2003)\cite{Han2003}预测的双氦白矮星并合渠道的质量分布。}\label{fig3.10}
\end{figure}
从图\ref{fig3.10}可以看出，双氦白矮星并合渠道预测热亚矮星的质量在0.42 -- 0.76 $M_\odot$之间有一个广泛分布，并在0.50 -- 0.60 $M_\odot$之间有一个平坦的峰。而我们得到的富氦热亚矮星的质量分布更广，大概从0.30 -- 1.0 $M_\odot$，并在0.40 $M_\odot$附近出现了一锐利的峰，这个峰值要小于双氦白矮星并合渠道所预测的峰值分布，而且我们得到的富氦热亚矮星质量分布峰值处的相对数量要少于双氦白矮星并合渠道所预测的平坦峰值处的数量。综上所述，这些比较结果表明双氦白矮星并合或者小质量主序星并合氦白矮星渠道并不是富氦热亚矮星的唯一形成渠道，其它的演化渠道也可能对富氦热亚矮星的形成有很大的贡献。Meng et al.(2021)\cite{Meng2021}提出大质量碳氧白矮星和主序星组成的双星系统在演化到一定阶段时会形成公共包层，这时碳氧白矮星不断的从伴星吸积物质从而增加质量，如果它的质量可以增加到超过钱德拉塞卡质量极限便会发生Ia型超新星爆发，碳氧白矮星会被完全炸碎，而碳氧白矮星的伴星在这个过程中会存活下来并有可能演化为一颗热亚矮星。Meng et al.(2021)\cite{Meng2021}认为通过这种渠道所形成的热亚矮星是中等富氦的单星。此外，在他们的研究中，当考虑碳氧白矮星爆发为Ia型超新星前的自转加速/减速模型时，基于双星演化的数值模拟结果可以解释富氦热亚矮星的一些观测特征，而且他们所预测的热亚矮星的质量范围为0.35 -- 1.0$M_\odot$，并且在0.4 $M_\odot$附近有一个明显的峰值(见他们文章的图9)，这与本研究中得到的富氦热亚矮星的质量分布非常一致。这些结果表明，双星氦白矮星并合和Ia型超新星爆发残留伴行渠道都有助于富氦热亚矮星的形成，Ia型超新星爆发残留伴星渠道可能形成了部分质量较小的富氦热亚矮星(如小于0.42 $M_\odot$)，而双星并合并合渠道可能主导了质量较大的富氦热亚矮星(如大于0.42 $M_\odot$)的形成。